Passo 1
O enunciado fornece a integral definida
Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral definida no intervalo
.
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando (sem resolver ainda): a função dentro da raiz é uma função afim de
, isto é
. Quando temos uma composição simples do tipo
é muito conveniente fazer uma mudança de variável para transformar a expressão numa potência simples de uma nova variável. A técnica que vamos usar é a substituição: definimos uma nova variável para a expressão linear dentro da raiz e trocamos
por
usando a derivada dessa expressão. Vou explicar passo a passo como aplicar essa substituição.
Passo 3
Fazemos a substituição
Agora calculamos
em termos de
. Derivando ambos os lados:
Também trocamos os limites de integração: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 4
Reescrevemos a integral em termos de
. Substituindo
e
e trocando os limites, obtemos:
Passo 5
Agora integramos usando a regra de potência para integrais indefinidas: para
,
Aqui temos
, então
e
Portanto a integral definida é
Passo 6
Calculamos o valor nos limites: