\int_{0}^{1} \frac{d y}{\sqrt{3 y+1}}

Passo 1

O enunciado fornece a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{3y+1}}
Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral definida no intervalo y\in[0,1].

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando (sem resolver ainda): a função dentro da raiz é uma função afim de y, isto é \,3y+1. Quando temos uma composição simples do tipo \sqrt{a y + b} é muito conveniente fazer uma mudança de variável para transformar a expressão numa potência simples de uma nova variável. A técnica que vamos usar é a substituição: definimos uma nova variável para a expressão linear dentro da raiz e trocamos dy por du usando a derivada dessa expressão. Vou explicar passo a passo como aplicar essa substituição.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 3y + 1.
Agora calculamos du em termos de dy. Derivando ambos os lados:
du = 3\,dy \quad\Rightarrow\quad dy = \frac{du}{3}.
Também trocamos os limites de integração: quando y=0 temos u=3\cdot 0 + 1 = 1; quando y=1 temos u=3\cdot 1 + 1 = 4.

Passo 4

Reescrevemos a integral em termos de u. Substituindo \sqrt{3y+1}=\sqrt{u} e dy=\dfrac{du}{3} e trocando os limites, obtemos:
\int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{3y+1}} = \int_{u=1}^{u=4} \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{4} u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Agora integramos usando a regra de potência para integrais indefinidas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui temos n=-\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{1}{2} e
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
Portanto a integral definida é
\frac{1}{3}\int_{1}^{4} u^{-1/2}\,du = \frac{1}{3}\Big[2u^{1/2}\Big]_{1}^{4}.

Passo 6

Calculamos o valor nos limites:
\frac{1}{3}\Big[2u^{1/2}\Big]_{1}^{4} = \frac{2}{3}\big(\sqrt{4}-\sqrt{1}\big) = \frac{2}{3}\big(2-1\big) = \frac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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