Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache, dentre todos os paralelepípedos retangulares, de volume
dado, aquele cuja superfície total seja mínima.
Passo 1
O enunciado pede: dentre todos os paralelepípedos retangulares (com arestas positivas) que têm volume dado
fixo, encontrar aquele cuja superfície total é mínima.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- Volume fixo:
, onde são as arestas do paralelepípedo. - Queremos minimizar a superfície total em função de
. - Resultado esperado: determinar as arestas
do paralelepípedo que minimizam a superfície e o valor mínimo da superfície.
Passo 2
Definimos as funções que aparecem no problema e explico o que representam:
- A superfície total (área da superfície) de um paralelepípedo retangular com arestas
é
Aqui
é a área de uma face,
de outra e
da terceira; o fator
aparece porque há duas faces de cada tipo.
- A restrição (volume fixo) é
Nosso objetivo é minimizar
sujeito a
. As variáveis
são positivas porque volume e arestas são positivas.
Passo 3
Vou ensinar o método dos multiplicadores de Lagrange (de forma didática e sem pular etapas):
- Ideia: para encontrar extremos de uma função
sujeita a uma restrição , procuramos pontos onde os gradientes de e são paralelos, isto é, existe tal que
- Por quê?: o gradiente indica a direção de maior crescimento da função. Sobre a superfície definida por
, um mínimo (ou máximo) interno ocorre quando não existe componente tangencial do gradiente de ; isso equivale a dizer que é combinação da normal da superfície, que é . - Como aplicar: calculamos as derivadas parciais de
e de e igualamos conforme a condição acima, obtendo um sistema para .
Passo 4
Calculo as derivadas parciais (explicando cada passo):
- Derivada parcial de
em relação a : . Porque derivando por dá , derivando por dá , e é constante em relação a . - Analogamente,
e . - Derivadas de
: , , .
Aplicandoobtemos o sistema
com a restrição
Passo 5
Resolver o sistema obtido (passo a passo e explicando cada manipulação):
- Tome as duas primeiras equações e divida membro a membro (isso é permitido porque
e pode ser cancelado se não for zero):
- Agora faço a multiplicação cruzada para eliminar frações:
Desenvolvendo ambos os lados:
Cancelei
dos dois lados e obtive
- Como
(aresta positiva), segue que , ou seja
- Repetindo o argumento dividindo, por exemplo, a primeira pela terceira equação, obtemos de forma análoga
. Portanto
Isso mostra que qualquer ponto estacionário dado pelo método dos multiplicadores tem todas as arestas iguais: o paralelepípedo é um cubo.
Passo 6
Determinar a aresta do cubo usando a restrição do volume e calcular a superfície mínima:
- Se
, da restrição vem
- A superfície correspondente é
Passo 7
Justificar por que este ponto é realmente mínimo (intuição e argumento simples):
- Para arestas positivas, se uma aresta tende a
e as outras se adaptam para manter o volume, a soma cresce muito (ou tende ao infinito), então a superfície cresce; se uma aresta tende ao infinito, as outras tendem a zero e novamente a superfície cresce. Assim não há mínimo na fronteira; qualquer extremo interno encontrado é candidato a mínimo global. - O ponto estacionário que encontramos é único (pela simetria e pelo sistema acima), portanto é o mínimo global. (Alternativamente, poderia-se usar desigualdade AM-GM para concluir que
é minimizado quando .)