Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache, dentre todos os paralelepípedos retangulares, de volume V dado, aquele cuja superfície total seja mínima.

Passo 1

O enunciado pede: dentre todos os paralelepípedos retangulares (com arestas positivas) que têm volume dado \,V fixo, encontrar aquele cuja superfície total é mínima.
Informações dadas e o que se pede:
  • Volume fixo: \,abc=V, onde \,a,b,c>0 são as arestas do paralelepípedo.
  • Queremos minimizar a superfície total em função de \,a,b,c.
  • Resultado esperado: determinar as arestas \,a,b,c do paralelepípedo que minimizam a superfície e o valor mínimo da superfície.

Passo 2

Definimos as funções que aparecem no problema e explico o que representam:
  • A superfície total (área da superfície) de um paralelepípedo retangular com arestas \,a,b,c é
S(a,b,c)=2(ab+ac+bc).
Aqui \,ab é a área de uma face, \,ac de outra e \,bc da terceira; o fator 2 aparece porque há duas faces de cada tipo.
  • A restrição (volume fixo) é
g(a,b,c)=abc-V=0.
Nosso objetivo é minimizar \,S(a,b,c) sujeito a \,g(a,b,c)=0. As variáveis \,a,b,c são positivas porque volume e arestas são positivas.

Passo 3

Vou ensinar o método dos multiplicadores de Lagrange (de forma didática e sem pular etapas):
  • Ideia: para encontrar extremos de uma função S sujeita a uma restrição g=0, procuramos pontos onde os gradientes de S e g são paralelos, isto é, existe \lambda tal que
\nabla S = \lambda \nabla g.
  • Por quê?: o gradiente indica a direção de maior crescimento da função. Sobre a superfície definida por g=0, um mínimo (ou máximo) interno ocorre quando não existe componente tangencial do gradiente de S; isso equivale a dizer que \nabla S é combinação da normal da superfície, que é \nabla g.
  • Como aplicar: calculamos as derivadas parciais de S e de g e igualamos conforme a condição acima, obtendo um sistema para \,a,b,c,\lambda.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais (explicando cada passo):
  • Derivada parcial de S em relação a a: \partial S/\partial a = 2\cdot(\partial/\partial a)(ab+ac+bc)=2(b+c). Porque derivando ab por a b, derivando ac por a c, e bc é constante em relação a a.
  • Analogamente,
    \partial S/\partial b = 2(a+c) e \partial S/\partial c = 2(a+b).
  • Derivadas de g: \partial g/\partial a = bc, \partial g/\partial b = ac, \partial g/\partial c = ab.
    Aplicando \nabla S=\lambda\nabla g obtemos o sistema
2(b+c)=\lambda\,bc,
2(a+c)=\lambda\,ac,
2(a+b)=\lambda\,ab,
com a restrição
abc=V.

Passo 5

Resolver o sistema obtido (passo a passo e explicando cada manipulação):
  • Tome as duas primeiras equações e divida membro a membro (isso é permitido porque a,b,c>0 e \lambda pode ser cancelado se não for zero):
\frac{2(b+c)}{2(a+c)}=\frac{\lambda bc}{\lambda ac}\quad\Longrightarrow\quad \frac{b+c}{a+c}=\frac{b}{a}.
  • Agora faço a multiplicação cruzada para eliminar frações:
a(b+c)=b(a+c).
Desenvolvendo ambos os lados:
ab+ac = ab+bc.
Cancelei ab dos dois lados e obtive
ac=bc \quad\Longrightarrow\quad c(a-b)=0.
  • Como c>0 (aresta positiva), segue que a-b=0, ou seja
a=b.
  • Repetindo o argumento dividindo, por exemplo, a primeira pela terceira equação, obtemos de forma análoga a=c. Portanto
a=b=c.
Isso mostra que qualquer ponto estacionário dado pelo método dos multiplicadores tem todas as arestas iguais: o paralelepípedo é um cubo.

Passo 6

Determinar a aresta do cubo usando a restrição do volume e calcular a superfície mínima:
  • Se a=b=c=s, da restrição \,abc=V vem
s^3=V \quad\Longrightarrow\quad s=V^{1/3}.
  • A superfície correspondente é
S_{\min}=2\big(s^2+s^2+s^2\big)=6s^2=6\big(V^{1/3}\big)^2=6V^{2/3}.

Passo 7

Justificar por que este ponto é realmente mínimo (intuição e argumento simples):
  • Para arestas positivas, se uma aresta tende a 0 e as outras se adaptam para manter o volume, a soma ab+ac+bc cresce muito (ou tende ao infinito), então a superfície cresce; se uma aresta tende ao infinito, as outras tendem a zero e novamente a superfície cresce. Assim não há mínimo na fronteira; qualquer extremo interno encontrado é candidato a mínimo global.
  • O ponto estacionário que encontramos é único (pela simetria e pelo sistema acima), portanto é o mínimo global. (Alternativamente, poderia-se usar desigualdade AM-GM para concluir que ab+ac+bc é minimizado quando a=b=c.)

Resposta

a=b=c=V^{1/3}
S_{\min}=6V^{2/3}

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