\int_{0}^{3} x \sqrt{1+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3} x \sqrt{1+x}\,dx.
Informações dadas:
\;x é a variável de integração, o integrando é x\sqrt{1+x} e os limites de integração são x=0 (inferior) e x=3 (superior). A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Observação inicial (ideia): quando vemos um produto onde uma parte é uma função composta como \sqrt{1+x} e aparece junto um fator que é simples (aqui x), uma técnica eficiente é substituir a parte composta por uma nova variável — isso facilita transformar a raiz em uma potência com expoente racional e integrar facilmente. Vou explicar isso passo a passo.

Passo 3

Escolha da substituição: defino a nova variável
u = 1+x.
Explicação: com essa escolha, a expressão dentro da raiz fica simplesmente u, e a raiz \sqrt{1+x} vira \sqrt{u}, que podemos escrever como u^{1/2}. Isso simplifica o integrando.

Passo 4

Calcular dx e trocar os limites: derivando u=1+x em relação a x obtemos
du = dx,
ou seja, dx = du. Agora trocamos os limites em termos de u:
quando x=0 temos u=1+0=1;
quando x=3 temos u=1+3=4.
Portanto a integral em x em [0,3] vira uma integral em u em [1,4].

Passo 5

Reescrever o integrando em u: como u=1+x, temos x = u-1. Substituindo isso e dx=du na integral original,
\int_{0}^{3} x\sqrt{1+x}\,dx = \int_{1}^{4} (u-1)\sqrt{u}\,du.
Explicação: trocamos todas as ocorrências de x por u-1 e \sqrt{1+x} por \sqrt{u}.

Passo 6

Transformar produto em soma de potências para integrar: escrever \sqrt{u} como u^{1/2} e multiplicar:
(u-1)u^{1/2} = u\cdot u^{1/2} - 1\cdot u^{1/2} = u^{3/2} - u^{1/2}.
Então a integral fica
\int_{1}^{4} (u^{3/2} - u^{1/2})\,du.

Passo 7

Regra de integração (aula curta): a regra básica para integrar uma potência é a “regra do poder”:
seja \alpha \neq -1, então
\int u^{\alpha}\,du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C.
Aqui vamos aplicar essa regra termo a termo (já que integral de soma é soma das integrais).

Passo 8

Aplicar a regra do poder a cada termo:
  • Para u^{3/2}: \alpha = \tfrac{3}{2}, logo
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}.
  • Para u^{1/2}: \alpha = \tfrac{1}{2}, logo
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto uma primitiva (antiderivada) do integrando é
F(u) = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 9

Calcular a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo: avaliar F(u) nos limites 1 e 4 e subtrair:
\int_{1}^{4} (u^{3/2} - u^{1/2})\,du = \left[\frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{4} = \left(\frac{2}{5}\cdot 4^{5/2} - \frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}\right) - \left(\frac{2}{5}\cdot 1^{5/2} - \frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}\right).

Passo 10

Calcular as potências de 4 e simplificar: lembre que 4^{1/2}=2. Assim
4^{3/2} = 4^{1}\cdot 4^{1/2} = 4\cdot 2 = 8, \qquad 4^{5/2} = 4^{2}\cdot 4^{1/2} = 16\cdot 2 = 32.
Substituindo:
\frac{2}{5}\cdot 32 - \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{64}{5} - \frac{16}{3}.
Para o limite em u=1:
\frac{2}{5}\cdot 1 - \frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{2}{5} - \frac{2}{3}.

Passo 11

Fazer a subtração e simplificar frações: primeiro calcule a diferença no numerador já com denominador comum 15.
Para o termo superior:
\frac{64}{5} - \frac{16}{3} = \frac{192}{15} - \frac{80}{15} = \frac{112}{15}.
Para o termo em u=1:
\frac{2}{5} - \frac{2}{3} = \frac{6}{15} - \frac{10}{15} = -\frac{4}{15}.
Agora subtrair: \frac{112}{15} - \left(-\frac{4}{15}\right) = \frac{112}{15} + \frac{4}{15} = \frac{116}{15}.

Passo 12

Conclusão e checagem rápida: o valor obtido \frac{116}{15} é um número positivo (faz sentido porque integrando x\sqrt{1+x} é não negativo em [0,3]). A conta está consistente com a técnica de substituição e a regra do poder.

Resposta

\dfrac{116}{15}

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