Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
é a variável de integração, o integrando é
e os limites de integração são
(inferior) e
(superior). A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?
Passo 2
Observação inicial (ideia): quando vemos um produto onde uma parte é uma função composta como
e aparece junto um fator que é simples (aqui
), uma técnica eficiente é substituir a parte composta por uma nova variável — isso facilita transformar a raiz em uma potência com expoente racional e integrar facilmente. Vou explicar isso passo a passo.
Passo 3
Escolha da substituição: defino a nova variável
Explicação: com essa escolha, a expressão dentro da raiz fica simplesmente
, e a raiz
vira
, que podemos escrever como
. Isso simplifica o integrando.
Passo 4
Calcular
e trocar os limites: derivando
em relação a
obtemos
ou seja,
. Agora trocamos os limites em termos de
:
quando temos
;
quando temos
.
Portanto a integral em em
vira uma integral em
em
.
quando
quando
Portanto a integral em
Passo 5
Reescrever o integrando em
: como
, temos
. Substituindo isso e
na integral original,
Explicação: trocamos todas as ocorrências de
por
e
por
.
Passo 6
Transformar produto em soma de potências para integrar: escrever
como
e multiplicar:
Então a integral fica
Passo 7
Regra de integração (aula curta): a regra básica para integrar uma potência é a “regra do poder”:
seja , então
seja
Aqui vamos aplicar essa regra termo a termo (já que integral de soma é soma das integrais).
Passo 8
Aplicar a regra do poder a cada termo:
- Para
: , logo
- Para
: , logo
Portanto uma primitiva (antiderivada) do integrando é
Passo 9
Calcular a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo: avaliar
nos limites
e
e subtrair:
Passo 10
Calcular as potências de
e simplificar: lembre que
. Assim
Substituindo:
Para o limite em
:
Passo 11
Fazer a subtração e simplificar frações: primeiro calcule a diferença no numerador já com denominador comum
.
Para o termo superior:
Para o termo superior:
Para o termo em
:
Agora subtrair:
Passo 12
Conclusão e checagem rápida: o valor obtido
é um número positivo (faz sentido porque integrando
é não negativo em
). A conta está consistente com a técnica de substituição e a regra do poder.