Calcule os póntos críticos da função
e, em seguida, classifique-os como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) calcular os pontos críticos; (ii) classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
Não há restrição de domínio além de
. A classificação pede usar o teste das derivadas segundas (ou outro método equivalente) em cada ponto crítico.
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar as derivadas parciais primeiras de
. Lembrete didático: a derivada parcial em relação a
significa derivar tratando
como constante; de forma análoga para a derivada parcial em relação a
.
Calculemos
. Derivando termo a termo:
-
. -
. - Todos os termos que só dependem de
têm derivada zero em relação a .
Logo,
Podemos fatorar para facilitar a resolução:
Agora calculemos
. Derivando termo a termo:
-
. -
. -
. - Termos que só dependem de
têm derivada zero em relação a .
Portanto,
Fatorando o polinômio quadrático (nota: a soma das raízes é
e o produto é
; discriminante
, raízes
e
):
Passo 3
Pontos críticos são os pontos
onde ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente:
Das equações fatoradas:
Combinando as opções para
e
(produto cartesiano), obtemos quatro pontos críticos:
Passo 4
Para classificar os pontos críticos usamos o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis. Lembrete didático: calcule as derivadas segundas e o discriminante (determinante da Hessiana) em cada ponto.
As derivadas segundas são:
(pois não há termos mistos
em
).
O discriminante (determinante da Hessiana) é
Regra do teste:
- Se
e então mínimo relativo. - Se
e então máximo relativo. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Agora avaliamos
e
em cada ponto crítico e classificamos.
- Em
:
Como
,
é um ponto de sela.
- Em
:
Aqui
e
, portanto
é um mínimo relativo.
- Em
:
Como
e
,
é um máximo relativo.
- Em
:
Como
,
é um ponto de sela.