Calcule os póntos críticos da função
f(x, y)=x^{3}+y^{3}+3 x^{2}-18 y^{2}+81 y+5
e, em seguida, classifique-os como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}+y^{3}+3x^{2}-18y^{2}+81y+5
e pede duas coisas: (i) calcular os pontos críticos; (ii) classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
\text{a função } f(x,y) \text{ está explicitamente dada por acima.}çãá
Não há restrição de domínio além de x,y\in\mathbb{R}. A classificação pede usar o teste das derivadas segundas (ou outro método equivalente) em cada ponto crítico.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar as derivadas parciais primeiras de f. Lembrete didático: a derivada parcial em relação a x significa derivar tratando y como constante; de forma análoga para a derivada parcial em relação a y.
Calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x}. Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3})=3x^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(3x^{2})=6x.
  • Todos os termos que só dependem de y têm derivada zero em relação a x.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+6x.
Podemos fatorar para facilitar a resolução:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x(x+2).
Agora calculemos \dfrac{\partial f}{\partial y}. Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{3})=3y^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-18y^{2})=-36y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(81y)=81.
  • Termos que só dependem de x têm derivada zero em relação a y.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-36y+81.
Fatorando o polinômio quadrático (nota: a soma das raízes é 12 e o produto é 27; discriminante =36, raízes 3 e 9):
\frac{\partial f}{\partial y}=3(y-3)(y-9).

Passo 3

Pontos críticos são os pontos (x,y) onde ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente:
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Das equações fatoradas:
3x(x+2)=0 \implies x=0 \text{ ou } x=-2,
3(y-3)(y-9)=0 \implies y=3 \text{ ou } y=9.
Combinando as opções para x e y (produto cartesiano), obtemos quatro pontos críticos:
(0,3),\quad (0,9),\quad (-2,3),\quad (-2,9).

Passo 4

Para classificar os pontos críticos usamos o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis. Lembrete didático: calcule as derivadas segundas e o discriminante (determinante da Hessiana) em cada ponto.
As derivadas segundas são:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=f_{xx}=6x+6,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=f_{yy}=6y-36,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=f_{xy}=0
(pois não há termos mistos xy em f).
O discriminante (determinante da Hessiana) é
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}= (6x+6)(6y-36).
Regra do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo relativo.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Agora avaliamos f_{xx},f_{yy} e D em cada ponto crítico e classificamos.
  1. Em (0,3):
f_{xx}=6\cdot 0+6=6,
f_{yy}=6\cdot 3-36=18-36=-18,
D=(6)(-18)=-108<0.
Como D<0, (0,3) é um ponto de sela.
  1. Em (0,9):
f_{xx}=6\cdot 0+6=6,
f_{yy}=6\cdot 9-36=54-36=18,
D=(6)(18)=108>0.
Aqui D>0 e f_{xx}=6>0, portanto (0,9) é um mínimo relativo.
  1. Em (-2,3):
f_{xx}=6\cdot(-2)+6=-12+6=-6,
f_{yy}=6\cdot 3-36=-18,
D=(-6)(-18)=108>0.
Como D>0 e f_{xx}=-6<0, (-2,3) é um máximo relativo.
  1. Em (-2,9):
f_{xx}=6\cdot(-2)+6=-6,
f_{yy}=6\cdot 9-36=18,
D=(-6)(18)=-108<0.
Como D<0, (-2,9) é um ponto de sela.

Resposta

(0,3) — ponto de sela
(0,9) — mínimo relativo
(-2,3) — máximo relativo
(-2,9) — ponto de sela

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