Resolva a equação diferencial dada.
\left(x^{2}-y^{2}\right) d x-2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(x^{2}-y^{2})\,dx \;-\;2xy\,dy \;=\;0
que está na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
com
M(x,y)=x^{2}-y^{2}, \quad N(x,y)=-2xy.
Vamos verificar se ela é exata e, em caso positivo, encontrar a função potencial.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}) =-2y,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(-2xy) =-2y.
Como
\partial M/\partial y = \partial N/\partial x,
a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) = x^{2}-y^{2}.
Integramos em x:
\Phi(x,y) =\int (x^{2}-y^{2})\,dx =\frac{x^{3}}{3}-x\,y^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), impomos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =-2x\,y + h'(y) \;=\;N(x,y)=-2x\,y \;\Longrightarrow\; h'(y)=0 \;\Longrightarrow\; h(y)=\text{constante}.

Passo 5

A solução geral implícita vem de
\Phi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}-x\,y^{2} = C,
onde C é constante arbitrária. Multiplicando por 3, obtemos a forma final.

Resposta

x^{3} \;-\; 3x\,y^{2} = C.

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