Resolva a equação diferencial dada.
\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x y\right) \mathrm{d} y=0

Passo 1

O enunciado pede para solucionar a equação diferencial
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x+\bigl(x^{2}-xy\bigr)\,\mathrm{d}y=0.
Este é um caso de equação homogênea de grau 2, pois as funções M(x,y)=x^{2}+y^{2} e N(x,y)=x^{2}-xy satisfazem M(tx,ty)=t^{2}M(x,y) e N(tx,ty)=t^{2}N(x,y). Vamos usar a substituição
y=ux,
onde u=u(x), reduzindo a equação a variáveis separáveis.

Passo 2

Escrevemos primeiro
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =-\frac{M(x,y)}{N(x,y)} =-\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-xy}
e substituímos y=ux, \mathrm{d}y/\mathrm{d}x=u+x\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}x. Como y^{2}=u^{2}x^{2} e xy=ux^{2}, temos
u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} =-\frac{x^{2}+u^{2}x^{2}}{x^{2}-ux^{2}} =-\frac{1+u^{2}}{1-u}.

Passo 3

Isolamos \mathrm{d}u/\mathrm{d}x:
x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} =-\frac{1+u^{2}}{1-u}-u =-\frac{1+u}{1-u}.
Isso dá a equação separável
\frac{1-u}{1+u}\,\mathrm{d}u =-\frac{\mathrm{d}x}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int\frac{1-u}{1+u}\,\mathrm{d}u =\int\Bigl(1-\frac{2u}{1+u}\Bigr)\mathrm{d}u =\int1\,\mathrm{d}u-2\int\frac{u}{1+u}\,\mathrm{d}u =-u+2\ln\bigl|1+u\bigr|+C_{1},
\int-\frac{\mathrm{d}x}{x} =-\ln\bigl|x\bigr|+C_{2}.
Juntando constantes (C=C_{2}-C_{1}) obtemos
-u+2\ln\bigl|1+u\bigr| =-\ln\bigl|x\bigr|+C.

Passo 5

Voltando a u=y/x, temos
-\frac{y}{x}+2\ln\Bigl|1+\frac{y}{x}\Bigr| =-\ln\bigl|x\bigr|+C.
Reorganizando:
\frac{y}{x}-2\ln\bigl|x+y\bigr|+\ln\bigl|x\bigr|=C.
Podemos também escrever a solução em forma explícita de fator integrante:
\frac{x\,e^{y/x}}{(x+y)^{2}}=K,
onde K=e^{-C} é constante arbitrária.

Resposta

\frac{y}{x}-2\ln\bigl|x+y\bigr|+\ln\bigl|x\bigr|=C \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x\,e^{y/x}}{(x+y)^{2}}=K.

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