Resolva a equação diferencial dada. \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x y\right) \mathrm{d} y=0 Passo 1O enunciado pede para solucionar a equação diferencial \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x+\bigl(x^{2}-xy\bigr)\,\mathrm{d}y=0. Este é um caso de equação homogênea de grau 2, pois as funções M(x,y)=x^{2}+y^{2} e N(x,y)=x^{2}-xy satisfazem M(tx,ty)=t^{2}M(x,y) e N(tx,ty)=t^{2}N(x,y). Vamos usar a substituição y=ux, onde u=u(x), reduzindo a equação a variáveis separáveis. Passo 2Escrevemos primeiro \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =-\frac{M(x,y)}{N(x,y)} =-\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-xy} e substituímos y=ux, \mathrm{d}y/\mathrm{d}x=u+x\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}x. Como y^{2}=u^{2}x^{2} e xy=ux^{2}, temos u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} =-\frac{x^{2}+u^{2}x^{2}}{x^{2}-ux^{2}} =-\frac{1+u^{2}}{1-u}. Passo 3Isolamos \mathrm{d}u/\mathrm{d}x: x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} =-\frac{1+u^{2}}{1-u}-u =-\frac{1+u}{1-u}. Isso dá a equação separável \frac{1-u}{1+u}\,\mathrm{d}u =-\frac{\mathrm{d}x}{x}. Passo 4Integramos ambos os lados: \int\frac{1-u}{1+u}\,\mathrm{d}u =\int\Bigl(1-\frac{2u}{1+u}\Bigr)\mathrm{d}u =\int1\,\mathrm{d}u-2\int\frac{u}{1+u}\,\mathrm{d}u =-u+2\ln\bigl|1+u\bigr|+C_{1}, \int-\frac{\mathrm{d}x}{x} =-\ln\bigl|x\bigr|+C_{2}. Juntando constantes (C=C_{2}-C_{1}) obtemos -u+2\ln\bigl|1+u\bigr| =-\ln\bigl|x\bigr|+C. Passo 5Voltando a u=y/x, temos -\frac{y}{x}+2\ln\Bigl|1+\frac{y}{x}\Bigr| =-\ln\bigl|x\bigr|+C. Reorganizando: \frac{y}{x}-2\ln\bigl|x+y\bigr|+\ln\bigl|x\bigr|=C. Podemos também escrever a solução em forma explícita de fator integrante: \frac{x\,e^{y/x}}{(x+y)^{2}}=K, onde K=e^{-C} é constante arbitrária. Resposta \frac{y}{x}-2\ln\bigl|x+y\bigr|+\ln\bigl|x\bigr|=C \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x\,e^{y/x}}{(x+y)^{2}}=K. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva a equação diferencial dada. \left(x^{2}-y^{2}\right) d x-2 x y d y=0 \int_{1}^{e} \frac{3}{[\ln (x)]^{2} \cdot x} dx Mostre que a equação y^{\prime}=\frac{y x}{x^{2}-y^{2}} é homogênea e que possui, para cada ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) do plano com y_{0} \neq x_{0}, uma única solução y(x) satisfazendo y\left(x_{0}\right)=y_{0}. Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{g(x)-g(2)}{x-2} onde g(x) é a função do item (n).