\int \frac{\operatorname{cosec}^{4} x}{\operatorname{cotg}^{2} x} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
\int \frac{\csc^{4}x}{\cot^{2}x}\,dx.
Estamos em conteúdo de integração de funções trigonométricas e vamos usar identidades que relacionam \csc, \cot, \sin e \cos, além de uma substituição adequada para facilitar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando usando identidades básicas:
\frac{\csc^{4}x}{\cot^{2}x} = \frac{\frac{1}{\sin^{4}x}}{\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}} = \frac{1}{\sin^{4}x}\,\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\sin^{2}x\,\cos^{2}x} = \csc^{2}x\,\operatorname{sec}^{2}x.
Logo a integral vira
\int \csc^{2}x\,\operatorname{sec}^{2}x \,dx.

Passo 3

Para resolver
\int \csc^{2}x\,\operatorname{sec}^{2}x \,dx
é conveniente usar a substituição
u = \tan x, \quad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Assim dx e um dos fatores \operatorname{sec}^{2}x ficam presos em du, sobrando
\int \csc^{2}x\,\operatorname{sec}^{2}x \,dx = \int \csc^{2}x \,du.

Passo 4

Precisamos escrever \csc^{2}x em função de u=\tan x. Como
\sin^{2}x = \frac{\tan^{2}x}{1+\tan^{2}x} = \frac{u^{2}}{1+u^{2}},
temos
\csc^{2}x = \frac{1}{\sin^{2}x} = \frac{1+u^{2}}{u^{2}}.
Substituindo em termos de u, a integral fica
\int \csc^{2}x\,du = \int \frac{1+u^{2}}{u^{2}}\,du = \int \bigl(u^{-2} + 1\bigr)\,du.

Passo 5

Agora integramos em u:
\int \bigl(u^{-2} + 1\bigr)\,du = \int u^{-2}\,du \;+\; \int 1\,du = -u^{-1} \;+\; u \;+\; C.
Voltando para x com u=\tan x, obtemos
-u^{-1} + u = -\frac{1}{\tan x} + \tan x = -\cot x + \tan x.

Resposta

\int \frac{\csc^{4}x}{\cot^{2}x}\,dx = \tan x \;-\;\cot x \;+\; C.

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