\int \frac{2 \operatorname{sen} w-1}{\cos ^{2} w} d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2\operatorname{sen} w - 1}{\cos^2 w}\,dw.
O conteúdo principal aqui é técnicas de integração: vamos decompor a fração em duas partes e usar substituição ou integrais trigonométricas conhecidas.

Passo 2

Separemos a integral em duas:
\int \frac{2\operatorname{sen} w - 1}{\cos^2 w}\,dw = 2\int \frac{\operatorname{sen} w}{\cos^2 w}\,dw \;-\; \int \frac{1}{\cos^2 w}\,dw.

Passo 3

Para a primeira parcela, use substituição. Defina u = \cos w, então du = -\operatorname{sen} w\,dw, isto é, \operatorname{sen} w\,dw = -du. Assim,
2\int \frac{\operatorname{sen} w}{\cos^2 w}\,dw = 2\int \frac{-du}{u^2} = -2\int u^{-2}\,du = -2\bigl(-u^{-1}\bigr) = \frac{2}{u} = \frac{2}{\cos w} = 2\operatorname{sec} w.

Passo 4

A segunda parcela é a integral de \operatorname{sec}^2 w:
\int \frac{1}{\cos^2 w}\,dw = \int \operatorname{sec}^2 w\,dw = \tan w.

Passo 5

Juntando os resultados e lembrando do sinal, obtemos
\int \frac{2\operatorname{sen} w - 1}{\cos^2 w}\,dw = 2\operatorname{sec} w \;-\; \tan w \;+\; C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

2\operatorname{sec} w \;-\; \tan w \;+\; C

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