(6 pontos) Resolva a seguinte integral indefinida:
\int x^{2} \sin (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\sin(x)\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que usa a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação de integração por partes:
u = x^{2}, \quad dv = \sin(x)\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = \int \sin(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int x^{2}\sin(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = (-x^{2}\cos(x)) - \int\bigl(-\cos(x)\bigr)\,(2x\,dx)
ou seja
\int x^{2}\sin(x)\,dx = -x^{2}\cos(x) + 2\int x\cos(x)\,dx.

Passo 4

Agora resolvemos
\int x\cos(x)\,dx
por outra integração por partes, tomando
u_{1} = x, \quad dv_{1} = \cos(x)\,dx
de modo que
du_{1} = dx, \quad v_{1} = \int \cos(x)\,dx = \sin(x).
Então
\int x\cos(x)\,dx = u_{1}v_{1} - \int v_{1}\,du_{1} = x\sin(x) - \int \sin(x)\,dx = x\sin(x) + \cos(x).

Passo 5

Substituindo de volta em \; -x^{2}\cos(x) + 2\int x\cos(x)\,dx, obtemos
\int x^{2}\sin(x)\,dx = -x^{2}\cos(x) + 2\bigl(x\sin(x) + \cos(x)\bigr) + C.
Distribuindo o 2, fica
\int x^{2}\sin(x)\,dx = -x^{2}\cos(x) + 2x\sin(x) + 2\cos(x) + C.

Resposta

\boxed{-x^{2}\cos(x) + 2x\sin(x) + 2\cos(x) + C}

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