\int e^{x} \operatorname{tg}^{4}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{x}\,\tan^{4}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é o uso de substituição para lidar com a composição e^{x} dentro da tangente e depois integrar uma potência de \tan. Também vamos usar a identidade \tan^{2}u = \operatorname{sec}^{2}u - 1 e a técnica de redução para integrar \operatorname{sec}^{4}u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x}, \quad du = e^{x}\,dx,
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\int e^{x}\,\tan^{4}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \int \tan^{4}(u)\,du.

Passo 3

Usamos a identidade \tan^{2}u = \operatorname{sec}^{2}u - 1 para reescrever
\tan^{4}u = \bigl(\tan^{2}u\bigr)^{2} = \bigl(\operatorname{sec}^{2}u - 1\bigr)^{2} = \operatorname{sec}^{4}u \;-\; 2\,\operatorname{sec}^{2}u \;+\;1.
Assim
\int \tan^{4}u\,du = \int \operatorname{sec}^{4}u\,du \;-\; 2\int \operatorname{sec}^{2}u\,du \;+\; \int du.

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente:
  1. \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}u\,du = \tan u. 2. \displaystyle \int du = u. 3. Para \displaystyle \int \operatorname{sec}^{4}u\,du, escrevemos \operatorname{sec}^{4}u = \operatorname{sec}^{2}u\cdot\operatorname{sec}^{2}u e fazemos t = \tan u, dt = \operatorname{sec}^{2}u\,du. Assim,
\int \operatorname{sec}^{4}u\,du = \int \operatorname{sec}^{2}u\bigl(\operatorname{sec}^{2}u\,du\bigr) = \int (1 + t^{2})\,dt = t + \frac{t^{3}}{3} = \tan u + \frac{\tan^{3}u}{3}.

Passo 5

Reunindo tudo:
\int \tan^{4}u\,du = \biggl(\tan u + \frac{\tan^{3}u}{3}\biggr) \;-\; 2\,\tan u \;+\; u + C = \frac{\tan^{3}u}{3} - \tan u + u + C.

Passo 6

Voltando à variável original x com u=e^{x}, obtemos a resposta final:
\boxed{ \int e^{x}\,\tan^{4}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \frac{\tan^{3}\bigl(e^{x}\bigr)}{3} - \tan\bigl(e^{x}\bigr) + e^{x} + C }.

Resposta

\frac{\tan^{3}\bigl(e^{x}\bigr)}{3} - \tan\bigl(e^{x}\bigr) + e^{x} + C.

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