\int \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \ln x \, dx
O conteúdo aqui é integração por partes, que usa a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes de forma que a derivada de uma seja simples e a integral da outra seja trivial. Definimos
u = \ln x, \quad dv = dx.

Passo 3

Agora calculamos du e v:
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int dv = \int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \ln x \, dx = u\,v - \int v\,du = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.

Resposta

\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C

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