\int \frac{\operatorname{sen}(2 x)+\cos (2 x)}{\cos (2 x)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sen}(2x)+\cos(2x)}{\cos(2x)}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é a razão \dfrac{\operatorname{sen}(2x)+\cos(2x)}{\cos(2x)}. O objetivo é encontrar uma função primitiva (ou família de primitivas) dessa integranda, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x) seja igual à integranda. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a expressão dentro da integral. Dividindo cada termo do numerador por \cos(2x) temos
\frac{\operatorname{sen}(2x)+\cos(2x)}{\cos(2x)}=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\cos(2x)}+\frac{\cos(2x)}{\cos(2x)}.
Agora use as identidades trigonométricas básicas: \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{\cos(2x)}=\tan(2x) e \dfrac{\cos(2x)}{\cos(2x)}=1. Logo
\frac{\operatorname{sen}(2x)+\cos(2x)}{\cos(2x)} = 1+\tan(2x).

Passo 3

Escrever a integral como soma facilita. Substituindo a simplificação:
\int \frac{\operatorname{sen}(2x)+\cos(2x)}{\cos(2x)}\,dx = \int \bigl(1+\tan(2x)\bigr)\,dx = \int 1\,dx + \int \tan(2x)\,dx.
Pequena revisão de conceito: a integral de uma soma é a soma das integrais e a integral de uma constante 1 é simplesmente x, porque \dfrac{d}{dx}x=1. Então
\int 1\,dx = x.

Passo 4

Agora precisamos calcular \int \tan(2x)\,dx. Vamos fazer isso com substituição e lembrando que \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}.
Faça a substituição linear natural causada pelo argumento 2x: defina
u=2x \quad\Rightarrow\quad du=2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
Assim
\int \tan(2x)\,dx = \int \tan(u)\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \tan(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos \tan(u). Use a forma \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u} e a substituição v=\cos u (técnica padrão para integrais do tipo \dfrac{f'(u)}{f(u)}):
\int \tan(u)\,du = \int \frac{\sin u}{\cos u}\,du.
Coloque v=\cos u. Então dv=-\sin u\,du, logo \sin u\,du=-dv. Substituindo:
\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du = \int \frac{-dv}{v} = -\ln|v| + C = -\ln|\cos u| + C.
Voltando à nossa integral com o fator 1/2,
\int \tan(2x)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(-\ln|\cos u|\bigr) + C = -\frac{1}{2}\ln|\cos(2x)| + C.
Observação didática: usamos valor absoluto em \ln|\cdot| porque \cos(2x) pode ser negativo e o logaritmo natural exige argumento positivo.

Passo 6

Juntando as duas partes (a integral de 1 e a da \tan(2x)) obtemos a primitiva completa:
\int \frac{\operatorname{sen}(2x)+\cos(2x)}{\cos(2x)}\,dx = x - \frac{1}{2}\ln\bigl|\cos(2x)\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule a derivada de F(x)=x-\tfrac{1}{2}\ln|\cos(2x)|.
Use a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\ln|\cos(2x)|=\dfrac{1}{\cos(2x)}\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -\dfrac{2\sin(2x)}{\cos(2x)}.
Multiplicando pelo coeficiente -\tfrac{1}{2} obtemos \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}=\tan(2x). Somando a derivada de x (que é 1), temos 1+\tan(2x), que é exatamente a integranda simplificada. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

x-\dfrac{1}{2}\ln\bigl|\cos(2x)\bigr|+C

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