Informações dadas: a função integranda é a razão \dfrac{\operatorname{sen}(2x)+\cos(2x)}{\cos(2x)}. O objetivo é encontrar uma função primitiva (ou família de primitivas) dessa integranda, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x) seja igual à integranda. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a expressão dentro da integral. Dividindo cada termo do numerador por \cos(2x) temos
Pequena revisão de conceito: a integral de uma soma é a soma das integrais e a integral de uma constante 1 é simplesmente x, porque \dfrac{d}{dx}x=1. Então
\int 1\,dx = x.
Passo 4
Agora precisamos calcular \int \tan(2x)\,dx. Vamos fazer isso com substituição e lembrando que \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}.
Faça a substituição linear natural causada pelo argumento 2x: defina
Agora integramos \tan(u). Use a forma \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u} e a substituição v=\cos u (técnica padrão para integrais do tipo \dfrac{f'(u)}{f(u)}):
Coloque v=\cos u. Então dv=-\sin u\,du, logo \sin u\,du=-dv. Substituindo:
\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du = \int \frac{-dv}{v} = -\ln|v| + C = -\ln|\cos u| + C.
Voltando à nossa integral com o fator 1/2,
\int \tan(2x)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(-\ln|\cos u|\bigr) + C = -\frac{1}{2}\ln|\cos(2x)| + C.
Observação didática: usamos valor absoluto em \ln|\cdot| porque \cos(2x) pode ser negativo e o logaritmo natural exige argumento positivo.
Passo 6
Juntando as duas partes (a integral de 1 e a da \tan(2x)) obtemos a primitiva completa:
\int \frac{\operatorname{sen}(2x)+\cos(2x)}{\cos(2x)}\,dx = x - \frac{1}{2}\ln\bigl|\cos(2x)\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule a derivada de F(x)=x-\tfrac{1}{2}\ln|\cos(2x)|.
Use a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\ln|\cos(2x)|=\dfrac{1}{\cos(2x)}\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -\dfrac{2\sin(2x)}{\cos(2x)}.
Multiplicando pelo coeficiente -\tfrac{1}{2} obtemos \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}=\tan(2x). Somando a derivada de x (que é 1), temos 1+\tan(2x), que é exatamente a integranda simplificada. Portanto a primitiva está correta.