Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a variável de integração é
; o integrando é a razão entre
e
. Observe que
para todo
, então
também.
Passo 2
Vamos procurar uma substituição útil. Uma boa pista: o denominador
tem derivada proporcional ao numerador. Calcule a derivada do denominador:
Isso mostra que o numerador
é igual a
vezes a derivada do denominador.
Passo 3
Faça a substituição padrão quando o numerador é proporcional à derivada do denominador:
Então
Isolando
obtemos
Passo 4
Troque a variável na integral usando
. Substituindo
por
e
por
, a integral vira
Passo 5
Recorde a fórmula básica de integrais:
onde
é a constante de integração. Aqui
, então
, mas manterei o módulo por rigor. Assim
Passo 6
Volte para a variável
substituindo
de volta:
Podemos checar derivando: usando a regra da cadeia,
que é o integrando original. Tudo bate.