\int \frac{e^{4 x}}{1+3 e^{4 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{4x}}{1+3 e^{4x}}\,dx.
Informações dadas: a variável de integração é x; o integrando é a razão entre e^{4x} e 1+3 e^{4x}. Observe que e^{4x}>0 para todo x, então 1+3 e^{4x}>0 também.

Passo 2

Vamos procurar uma substituição útil. Uma boa pista: o denominador 1+3 e^{4x} tem derivada proporcional ao numerador. Calcule a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\big(1+3 e^{4x}\big)=3\cdot \frac{d}{dx}e^{4x}=3\cdot 4 e^{4x}=12 e^{4x}.
Isso mostra que o numerador e^{4x} é igual a \tfrac{1}{12} vezes a derivada do denominador.

Passo 3

Faça a substituição padrão quando o numerador é proporcional à derivada do denominador:
u=1+3 e^{4x}.
Então
du=12 e^{4x}\,dx.
Isolando e^{4x}\,dx obtemos
e^{4x}\,dx=\frac{du}{12}.

Passo 4

Troque a variável na integral usando u. Substituindo e^{4x}\,dx por \tfrac{du}{12} e 1+3 e^{4x} por u, a integral vira
\int \frac{e^{4x}}{1+3 e^{4x}}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{12}=\frac{1}{12}\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Recorde a fórmula básica de integrais:
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C,
onde C é a constante de integração. Aqui u=1+3 e^{4x}>0, então |u|=u, mas manterei o módulo por rigor. Assim
\frac{1}{12}\int \frac{1}{u}\,du=\frac{1}{12}\ln|u|+C.

Passo 6

Volte para a variável x substituindo u de volta:
\frac{1}{12}\ln|u|+C=\frac{1}{12}\ln\big|1+3 e^{4x}\big|+C.
Podemos checar derivando: usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{12}\ln\big(1+3 e^{4x}\big)\right)=\frac{1}{12}\cdot\frac{12 e^{4x}}{1+3 e^{4x}}=\frac{e^{4x}}{1+3 e^{4x}},
que é o integrando original. Tudo bate.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}\ln\big|1+3 e^{4x}\big|+C

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