Calcule o volume dos sólidos de revolução a seguir.
Nos itens c e d, determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
, da região limitada pelos gráficos das equações dadas.
e
,
Nos itens c e d, determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo dos
a região do plano limitada pelas curvas
Informações importantes fornecidas:
- A curva
é dada; podemos escrevê-la como quando for conveniente. - As retas horizontais que limitam a região são
(inferior) e (superior). - A reta vertical
é o eixo (borda à esquerda da região). - A rotação é em torno do eixo dos
.
A partir daqui vamos montar a resolução passo a passo.
Passo 2
Entendendo a região: para cada valor de
entre
e
, a região tem
variando de
(o eixo
) até a curva
(pois
implica
). Então a região é verticalmente entre
e
e horizontalmente entre
e
. Isso é importante para escolher como calcular o volume.
Passo 3
Escolha do método: como estamos girando em torno do eixo dos
e a região é naturalmente descrita com
em função de
(
), o método de discos (ou anéis/washer) com cortes perpendiculares ao eixo de rotação (fatias horizontais) é o mais direto. Vou explicar a fórmula:
Quando se faz fatias perpendiculares ao eixo
, cada fatia, ao girar em torno do eixo dos
, gera um disco de raio igual à distância do eixo
até a curva mais afastada em
. O volume de uma fatia de espessura
é aproximadamente a área do círculo base vezes a espessura:
onde
é o raio da fatia (a coordenada
da fronteira direita da região). O volume total vem da soma (integral) dessas fatias:
Aqui
e
. Explico o que é cada coisa:
é a função que dá o valor de
da fronteira direita da região para cada
;
é a espessura infinitesimal da fatia.
Passo 4
Determinar
: a fronteira direita é a curva
, então
Substituindo na fórmula do volume e usando os limites em
de
a
, obtemos a integral
Passo 5
Calcular a integral
. Aqui uma regra básica de integrais: para constantes
,
No nosso caso
, então
Aplicando isso na integral do volume,
Passo 6
Avaliar os exponenciais:
Portanto
Se quiser uma verificação numérica rápida (apenas para intuição),
e
, logo
. Mas a forma simbólica exata é melhor para a prova.