Calcule o volume dos sólidos de revolução a seguir.
Nos itens c e d, determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos \mathbf{y}, da região limitada pelos gráficos das equações dadas.
y=\ln x, y=-1, y=2 e x=0 \quad,

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo dos y a região do plano limitada pelas curvas
y=\ln x,\quad y=-1,\quad y=2,\quad x=0.
Informações importantes fornecidas:
  • A curva y=\ln x é dada; podemos escrevê-la como x=e^{y} quando for conveniente.
  • As retas horizontais que limitam a região são y=-1 (inferior) e y=2 (superior).
  • A reta vertical x=0 é o eixo y (borda à esquerda da região).
  • A rotação é em torno do eixo dos y.
    A partir daqui vamos montar a resolução passo a passo.

Passo 2

Entendendo a região: para cada valor de y entre -1 e 2, a região tem x variando de x=0 (o eixo y) até a curva x=e^{y} (pois y=\ln x implica x=e^{y}). Então a região é verticalmente entre y=-1 e y=2 e horizontalmente entre x=0 e x=e^{y}. Isso é importante para escolher como calcular o volume.

Passo 3

Escolha do método: como estamos girando em torno do eixo dos y e a região é naturalmente descrita com x em função de y ( x=e^{y}), o método de discos (ou anéis/washer) com cortes perpendiculares ao eixo de rotação (fatias horizontais) é o mais direto. Vou explicar a fórmula:
Quando se faz fatias perpendiculares ao eixo y, cada fatia, ao girar em torno do eixo dos y, gera um disco de raio igual à distância do eixo y até a curva mais afastada em x. O volume de uma fatia de espessura dy é aproximadamente a área do círculo base vezes a espessura:
dV \approx \pi \big(R(y)\big)^{2}\, dy,
onde R(y) é o raio da fatia (a coordenada x da fronteira direita da região). O volume total vem da soma (integral) dessas fatias:
V=\int_{y_{\text{min}}}^{y_{\text{max}}} \pi \big(R(y)\big)^{2}\, dy.
Aqui y_{\text{min}}=-1 e y_{\text{max}}=2. Explico o que é cada coisa: R(y) é a função que dá o valor de x da fronteira direita da região para cada y; dy é a espessura infinitesimal da fatia.

Passo 4

Determinar R(y): a fronteira direita é a curva x=e^{y}, então
R(y)=e^{y}.
Substituindo na fórmula do volume e usando os limites em y de -1 a 2, obtemos a integral
V=\int_{-1}^{2} \pi \big(e^{y}\big)^{2}\, dy=\pi\int_{-1}^{2} e^{2y}\, dy.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \int e^{2y}\, dy. Aqui uma regra básica de integrais: para constantes a\neq 0,
\int e^{a y}\, dy = \frac{1}{a} e^{a y}+C.
No nosso caso a=2, então
\int e^{2y}\, dy = \frac{1}{2} e^{2y}+C.
Aplicando isso na integral do volume,
V=\pi\left[\frac{1}{2}e^{2y}\right]_{y=-1}^{y=2}=\frac{\pi}{2}\left(e^{2\cdot 2}-e^{2\cdot(-1)}\right).

Passo 6

Avaliar os exponenciais:
e^{2\cdot 2}=e^{4},\qquad e^{2\cdot(-1)}=e^{-2}.
Portanto
V=\frac{\pi}{2}\big(e^{4}-e^{-2}\big).
Se quiser uma verificação numérica rápida (apenas para intuição), e^{4}\approx 54{,}598 e e^{-2}\approx 0{,}1353, logo V\approx \frac{\pi}{2}\cdot 54{,}4627\approx 85{,}6. Mas a forma simbólica exata é melhor para a prova.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}\big(e^{4}-e^{-2}\big)

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