\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2}(x \cos y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} (x\cos y)\, dy\, dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x\cos y.
  • A integração interna é em y com limite inferior 0 e limite superior 2.
  • A integração externa é em x com limite inferior 0 e limite superior \tfrac{\pi}{2}.
  • A região de integração é o retângulo [0,\tfrac{\pi}{2}]\times[0,2] no plano (x,y).

Passo 2

Estratégia de resolução (explicando por que escolhemos esse caminho):
Vou primeiro calcular a integral interna em y, tratando x como constante (porque quando integramos em relação a y, x não varia). Depois faço a integral resultante em x. Isso é permitido porque a função x\cos y é contínua no retângulo dado, então a integral iterada existe e a ordem dada é válida. É o método mais direto aqui e o que normalmente se usa numa prova quando a integral é produto de função de x por função de y.

Passo 3

Lembrete de cálculo usado: se a é constante em relação a y, então
\int a\cos y\, dy = a\int \cos y\, dy = a\sin y + C,
porque a primitiva de \cos y é \sin y. Aqui x será esse " a " constante ao integrar em y.

Passo 4

Calcular a integral interna:
\int_{0}^{2} (x\cos y)\, dy.
Tratando x como constante, aplicamos a primitivação:
\int_{0}^{2} (x\cos y)\, dy = x\left[\sin y\right]_{y=0}^{y=2} = x\big(\sin 2 - \sin 0\big).
Sabemos que \sin 0 = 0, então isso simplifica para
\int_{0}^{2} (x\cos y)\, dy = x\sin 2.

Passo 5

Agora substituímos o resultado na integral externa e calculamos:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \big(x\sin 2\big)\, dx.
Aqui \sin 2 é uma constante (número), então podemos factorá-la:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \big(x\sin 2\big)\, dx = \sin 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\, dx.

Passo 6

Calcular \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\, dx. A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, logo
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\, dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2} - 0 = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi^{2}}{4} = \dfrac{\pi^{2}}{8}.

Passo 7

Juntando tudo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} (x\cos y)\, dy\, dx = \sin 2 \cdot \dfrac{\pi^{2}}{8} = \dfrac{\pi^{2}}{8}\sin 2.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{8}\sin 2

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