Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- O integrando é
. - A integração interna é em
com limite inferior e limite superior . - A integração externa é em
com limite inferior e limite superior . - A região de integração é o retângulo
no plano .
Passo 2
Estratégia de resolução (explicando por que escolhemos esse caminho):
Vou primeiro calcular a integral interna em , tratando
como constante (porque quando integramos em relação a
,
não varia). Depois faço a integral resultante em
. Isso é permitido porque a função
é contínua no retângulo dado, então a integral iterada existe e a ordem dada é válida. É o método mais direto aqui e o que normalmente se usa numa prova quando a integral é produto de função de
por função de
.
Vou primeiro calcular a integral interna em
Passo 3
Lembrete de cálculo usado: se
é constante em relação a
, então
porque a primitiva de
é
. Aqui
será esse "
" constante ao integrar em
.
Passo 4
Calcular a integral interna:
Tratando
como constante, aplicamos a primitivação:
Sabemos que
, então isso simplifica para
Passo 5
Agora substituímos o resultado na integral externa e calculamos:
Aqui
é uma constante (número), então podemos factorá-la:
Passo 6
Calcular
. A primitiva de
é
, logo
Passo 7
Juntando tudo: