Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
varia de
a
,
varia de
a
, o integrando é
e a ordem de integração é primeiro em
(interna) e depois em
(externa). O domínio é o quadrado
.
Passo 2
Ideia do método (explicando a teoria necessária de forma simples): uma integral dupla iterada como essa pode ser calculada integrando primeiro em
mantendo
fixo, e depois integrando o resultado em
. Também usamos linearidade da integral, que diz que podemos separar somas:
Ao integrar em
com
fixo,
é tratado como uma constante.
Passo 3
Calcule a integral interna em
:
Agora aplicamos as primitivas conhecidas: a primitiva de
em
é
e a primitiva de
é
. Então
Somando,
Passo 4
Agora integramos o resultado em
:
Usamos a primitiva
e
. Então
Passo 5
Somando as duas parcelas obtidas:
Portanto o valor da integral é
.
Passo 6
Verificação rápida (ideia útil para prova): pelo simetria do domínio,
. Assim o integral total é
. Calculando
e dobrando dá
, mesmo resultado — bom para conferir.