\int_{0}^{2} \int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
\;x varia de 0 a 2, \;y varia de 0 a 2, o integrando é \;x^{2}+y^{2} e a ordem de integração é primeiro em y (interna) e depois em x (externa). O domínio é o quadrado [0,2]\times[0,2].

Passo 2

Ideia do método (explicando a teoria necessária de forma simples): uma integral dupla iterada como essa pode ser calculada integrando primeiro em y mantendo x fixo, e depois integrando o resultado em x. Também usamos linearidade da integral, que diz que podemos separar somas:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2}x^{2}\,dy\,dx + \int_{0}^{2}\int_{0}^{2}y^{2}\,dy\,dx.
Ao integrar em y com x fixo, x^{2} é tratado como uma constante.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy = x^{2}\int_{0}^{2}dy+\int_{0}^{2}y^{2}\,dy.
Agora aplicamos as primitivas conhecidas: a primitiva de 1 em y é y e a primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}. Então
x^{2}\int_{0}^{2}dy = x^{2}[y]_{0}^{2}=x^{2}\cdot 2 = 2x^{2},
\int_{0}^{2}y^{2}\,dy = \left[\dfrac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \dfrac{2^{3}}{3}-0=\dfrac{8}{3}.
Somando,
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy = 2x^{2}+\dfrac{8}{3}.

Passo 4

Agora integramos o resultado em x:
\int_{0}^{2}\left(2x^{2}+\dfrac{8}{3}\right)\,dx = 2\int_{0}^{2}x^{2}\,dx+\dfrac{8}{3}\int_{0}^{2}dx.
Usamos a primitiva \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3} e \int dx = x. Então
2\int_{0}^{2}x^{2}\,dx = 2\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 2\cdot \dfrac{2^{3}}{3} = 2\cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3},
\dfrac{8}{3}\int_{0}^{2}dx = \dfrac{8}{3}[x]_{0}^{2} = \dfrac{8}{3}\cdot 2 = \dfrac{16}{3}.

Passo 5

Somando as duas parcelas obtidas:
\dfrac{16}{3}+\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}.
Portanto o valor da integral é \dfrac{32}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (ideia útil para prova): pelo simetria do domínio, \int\int x^{2}=\int\int y^{2}. Assim o integral total é 2\int\int x^{2}. Calculando \int_{0}^{2}\int_{0}^{2}x^{2}\,dy\,dx = \int_{0}^{2}x^{2}\cdot 2\,dx = 2\cdot \dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3} e dobrando dá \dfrac{32}{3}, mesmo resultado — bom para conferir.

Resposta

\dfrac{32}{3}

Exercícios relacionados