\int_{0}^{1} \frac{d x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)\bigl(x^{2}+1\bigr)}.
O método mais adequado aqui é decompor a função em frações parciais, depois usar antiderivadas conhecidas de 1/(x+1), x/(x^2+1) e 1/(x^2+1).

Passo 2

Procuramos constantes A,B,C\) tais que \[\frac{1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2+1}.
Multiplicando por (x+1)(x^2+1) obtemos
1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1).
Expandindo,
1 = (A + B)\,x^2 + (B + C)\,x + (A + C).
Igualando coeficientes a um polinômio constante, vem
\begin{cases} A + B = 0,\\\ B + C = 0,\\\ A + C = 1. \end{cases}
Dessa forma B=-A\], \(C=-B=A e 2A=1, logo
A = \tfrac12,\quad B = -\tfrac12,\quad C = \tfrac12.

Passo 3

Substituindo na integral,
I = \int_{0}^{1}\!\Bigl[\tfrac12\frac{1}{x+1} \;-\;\tfrac12\frac{x}{x^2+1} \;+\;\tfrac12\frac{1}{x^2+1}\Bigr]dx.
Separamos em três integrais:
I = \tfrac12\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+1} \;-\;\tfrac12\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^2+1} \;+\;\tfrac12\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2+1}.

Passo 4

Calculamos cada termo:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{x+1} = \bigl[\ln(x+1)\bigr]_{0}^{1} = \ln 2.
  2. \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^2+1} faz u=x^2+1, du=2x\,dx, então
\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^2+1} = \tfrac12\int_{u(0)=1}^{u(1)=2}\frac{du}{u} = \tfrac12\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} = \tfrac12\ln 2.
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2+1} = \bigl[\arctan(x)\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{\pi}{4}. Portanto
I = \tfrac12\ln 2 \;-\;\tfrac12\cdot\tfrac12\ln 2 \;+\;\tfrac12\cdot\tfrac{\pi}{4} = \tfrac14\ln 2 \;+\;\tfrac{\pi}{8}.

Resposta

\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{\ln 2}{4} + \frac{\pi}{8}.

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