\int \frac{x d x}{\sqrt{2 x^{2}+3}}. Sugestão. Faça u=2 x^{2}+3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \displaystyle \int \frac{x\,dx}{\sqrt{2x^{2}+3}}
usando a substituição sugerida u = 2x^{2}+3. Trata-se de uma integral que se reduz a uma potência de u.

Passo 2

Definimos
u = 2x^{2} + 3,
então
du = 4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{2x^{2}+3}} = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int u^{-\tfrac12}\,du usamos a regra da potência:
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12}.
Multiplicando pelo fator \tfrac14
\frac{1}{4}\cdot 2\,u^{\tfrac12} = \frac{1}{2}\,u^{\tfrac12}.

Resposta

\frac{1}{2}\sqrt{2x^{2}+3} + C

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