Seja a equação
. Compare os diversos métodos numéricos considerando a garantia e rapidez de convergência para a raiz positiva desta equação. Utilize
.
Passo 1
O enunciado pede que eu compare vários métodos numéricos quanto à garantia de convergência e à rapidez de convergência para a raiz positiva da equação
, usando tolerância
.
Informações fornecidas / que extraí do enunciado:
- A função é
. - Queremos a raiz positiva de
. - A tolerância exigida para a comparação é
.
Perguntas implícitas que vou responder ao longo da resolução:
- Qual é a raiz positiva exata (se houver)?
- Para cada método (bissecção, Newton, secante, regula falsi, ponto fixo), qual é a garantia de convergência e qual é a rapidez (ordem) da convergência?
- Para exemplos numéricos práticos (escolhendo inicializações/intervalos naturais), quantas iterações cada método requer até atingir
(ou comportamento prático relevante)?
Passo 2
Primeiro encontrar a(s) raiz(es) analiticamente (isso ajuda a comparar os métodos e a usar erro absoluto real quando for conveniente).
A função pode ser fatorada:
As soluções de
satisfazem
ou
. A equação
dá
Portanto as raízes formais são
e
. Como o enunciado pede a raiz positiva, tomamos
Observação importante (didática): embora o produto
sugira
como solução, a função original envolve
e, estritamente,
não está definido em
. Para a maioria dos métodos numéricos em
consideramos a raiz positiva
.
Passo 3
Critério de parada a usar (explico didaticamente):
- Em provas e implementações práticas costuma-se usar um de:
-
(mudança no aproximante), -
(resíduo pequeno).
-
- Para comparação aqui eu usarei como referência o erro absoluto real
(porque conheço ); na prática, use ou . - Portanto, uma iteração conta como parada quando
.
Agora vou apresentar cada método, sua ideia, garantia teórica, ordem de convergência (velocidade), e uma conta/estimativa prática do número de iterações usando escolhas naturais de inicialização/intervalo. Vou escolher um intervalo inicial para os métodos de bipartição/regula falsi e chutes iniciais para Newton/secante que sejam simples e razoáveis:
- Tomarei o intervalo
para bissecção e regula falsi, porque e , logo há mudança de sinal e o intervalo contém . - Para Newton tomo chute inicial
(próximo a ). - Para secante tomo
, (os extremos do intervalo).
Passo 4
Conceito rápido e fórmula: dado um intervalo
com
, o método parte do teorema do valor intermediário e reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração, escolhendo o subintervalo onde o sinal muda. Garante convergência (desde que
seja contínua no intervalo).
Garantia:
- Total: sempre converge a uma raiz em
se for contínua e .
Ordem/rapidez:
- Convergência linear: o erro (meio do intervalo) diminui por um fator
por iteração.
Estimativa de número de iterações:
- Se
então . - Com
temos . Para :
logo é preciso
iterações (arredondando para cima) para garantir que o erro absoluto em
seja menor que
.
Comentário prático: é simples, robusto e totalmente previsível, mas relativamente lento comparado a métodos de ordem superior.
Passo 5
Introdução / derivada:
- A iteracão de Newton é
- Para
temos
- Substituindo na fórmula de Newton:
Surpresa agradável: a fórmula de iteração simplifica para
Condições e garantia:
- Newton não tem garantia global; tem convergência local e convergência quadrática quando a aproximação inicial está suficientemente próxima da raiz simples e
na vizinhança. - Risco concreto aqui: se
então e a fórmula falha (divisão por zero). Logo evite chutes em .
Ordem/rapidez:
- Convergência quadrática (ordem
) perto da raiz: número de dígitos corretos dobra aproximadamente a cada iteração quando já próximo.
Simulação numérica (chute
, critério
):
-
. -
-
(aprox). -
(aprox). -
(já com erro menor que ).
Portanto, na prática comNewton atinge em cerca de iterações.
Comentário didático: Newton foi muito rápido (quadrático) e a iteração simplificada
é fácil de calcular. Só cuidado com
muito próximo de
(derivada nula) ou chutes muito ruins que podem causar divergência.
Passo 6
Fórmula e ideia:
- O método da secante aproxima
por uma diferença dividida usando dois últimos pontos:
- Não exige derivada, apenas duas aproximações iniciais.
Garantia:
- Não é garantido globalmente; precisa de aproximações iniciais razoáveis para convergir. Geralmente converge se os chutes estão suficientemente próximos da raiz e função bem comportada.
Ordem/rapidez:
- Convergência superlinear de ordem
(a razão áurea). Mais lenta que Newton (quadrática) mas mais rápida que a bissecção (linear).
Simulação prática (chutes
,
):
- Iterações aproximadas (valores arredondados):
-
-
-
-
-
-
(aqui o erro absoluto fica da ordem ou menor)
-
- Na prática, com esses chutes, o secante leva aproximadamente entre
e iterações para atingir . O número exato depende de arredondamentos; o ponto importante é que é mais lento que Newton mas bem mais rápido que bissecção.
Passo 7
Ideia:
- Semelhante à secante, mas sempre mantém um intervalo
com : calcula a interseção da reta secante em e e substitui o ponto cujo sinal do coincide com a interseção por este novo ponto (mantém o bracket).
Garantia:
- Converge (globalmente) sob as mesmas hipóteses da bissecção (continuidade e sinal oposto nos extremos), pois sempre mantém um intervalo com mudança de sinal.
Comportamento prático:
- A convergência pode ser lenta em problemas em que um dos extremos “fica preso” (o novo ponto sempre substitui o outro extremo), fazendo o método progredir lentamente — existe uma versão melhorada (regula falsi modificada) que corrige isso.
- Para o nosso caso com
a primeira aproximação coincide com a secante inicial (valor ~2,179) e, na prática, a regula falsi aqui costuma convergir de forma comparável ao secante nas primeiras iterações, mas pode ficar um pouco mais lenta se um extremo ficar preso. - Estimativa prática: também da ordem de algumas (digamos)
– iterações dependendo do comportamento local; porém, ao contrário da secante, ela tem a garantia de manter um bracket.
Passo 8
Ideia:
- Reescrever
como e iterar . Converge se for uma contração (isto é, na vizinhança da raiz).
Aplicação aqui:
- A equação dá diretamente
e, portanto, . Isso não fornece uma forma útil de sem conhecer a priori. - Poderíamos tentar rearranjos artificiais (por exemplo
com alguma escolha de ), mas há pouca razão para escolher um com garantia de contração simples e convergência rápida. - Conclusão prática: ponto fixo não é competitivo aqui salvo se for construída uma função
cuidadosamente com na vizinhança — o que é desnecessariamente trabalhoso quando Newton direto tem iteração simples .
Passo 9
-
Bissecção:
- Garantia: sim (global), se
contínua e bracket existe. - Rapidez: linear (lentíssimo comparado a Newton/secante).
- Iterações (no nosso caso
): para . - Uso recomendado: quando se precisa de robustez/garantia.
- Garantia: sim (global), se
-
Newton:
- Garantia: não global; depende do chute inicial. Pode divergir se o chute for ruim (aqui: cuidado com
próximo de ). - Rapidez: quadrática (muito rápido perto da raiz).
- Iterações (com
): cerca de iterações para . - Uso recomendado: se há um chute razoável, é a melhor escolha prática pela rapidez.
- Garantia: não global; depende do chute inicial. Pode divergir se o chute for ruim (aqui: cuidado com
-
Secante:
- Garantia: não garantida globalmente (mas frequentemente funciona).
- Rapidez: superlinear (ordem
), mais lento que Newton, mais rápido que bissecção. - Iterações (com
): aproximadamente – para . - Uso recomendado: quando não se quer calcular derivada, e se é aceitável perder um pouco em rapidez em relação a Newton.
-
Regula Falsi:
- Garantia: sim (mantém bracket).
- Rapidez: pode ser lenta em alguns casos (pode “prender” um extremo); frequentemente comparável ao secante no início, mas com garantia de bracket.
- Iterações: tipicamente algumas unidades (dependendo do caso), mas potencialmente mais que o secante se houver prisão do extremo.
- Uso recomendado: quando se quer a garantia do bracket e não se dispõe (ou não se quer) do cálculo da derivada.
-
Ponto fixo:
- Garantia e rapidez dependem de escolher
com . Não é natural nem recomendado aqui sem construção cuidadosa. - Uso recomendado: geralmente descartado neste problema concreto.
- Garantia e rapidez dependem de escolher
Recomendação prática: se tiver um chute razoável (por exemplo
), usar Newton com iteração
— rápido e simples. Se precisar de garantia absoluta, comece com bissecção para localizar bem a raiz e, depois, faça Newton a partir do ponto obtido (estratégia híbrida robusta).
Resposta
Raiz positiva:
Bissecção: converge garantidamente (global), convergência linear; requer
iterações em
para
.
Newton (com
): não garantido globalmente, convergência quadrática; cerca de
iterações para
. Iteração simplificada:
.
Secante (com
): não garantido globalmente, convergência superlinear de ordem
; aproximadamente
–
iterações para
.
Regula falsi (com
): garante manutenção do bracket (convergência global), porém pode ser lenta em alguns casos; em prática leva número de iterações comparável ao secante (≈
–
), dependendo de comportamento local.
Ponto fixo: não recomendado aqui sem construção específica de
com
; geralmente não competitivo para este problema.
Conclusão prática: para velocidade use Newton (a partir de um chute razoável); para garantia use bissecção (ou regula falsi) ou uma combinação: bissecção até um intervalo pequeno e então Newton para acelerar.