Seja a equação f(x)=x-x \ln x=0. Compare os diversos métodos numéricos considerando a garantia e rapidez de convergência para a raiz positiva desta equação. Utilize \epsilon=10^{-5}.

Passo 1

O enunciado pede que eu compare vários métodos numéricos quanto à garantia de convergência e à rapidez de convergência para a raiz positiva da equação f(x)=x - x\ln x = 0, usando tolerância \epsilon=10^{-5}.
Informações fornecidas / que extraí do enunciado:
  • A função é f(x)=x - x\ln x.
  • Queremos a raiz positiva de f.
  • A tolerância exigida para a comparação é \epsilon = 10^{-5}.
Perguntas implícitas que vou responder ao longo da resolução:
  • Qual é a raiz positiva exata (se houver)?
  • Para cada método (bissecção, Newton, secante, regula falsi, ponto fixo), qual é a garantia de convergência e qual é a rapidez (ordem) da convergência?
  • Para exemplos numéricos práticos (escolhendo inicializações/intervalos naturais), quantas iterações cada método requer até atingir \epsilon=10^{-5} (ou comportamento prático relevante)?

Passo 2

Primeiro encontrar a(s) raiz(es) analiticamente (isso ajuda a comparar os métodos e a usar erro absoluto real quando for conveniente).
A função pode ser fatorada:
f(x)=x - x\ln x = x(1-\ln x).
As soluções de f(x)=0 satisfazem x=0 ou 1-\ln x=0. A equação 1-\ln x=0
\ln x = 1 \quad\Rightarrow\quad x = e.
Portanto as raízes formais são x=0 e x=e. Como o enunciado pede a raiz positiva, tomamos
\text{raiz positiva} = e \approx 2{,}718281828459045\ldots
Observação importante (didática): embora o produto x(1-\ln x) sugira x=0 como solução, a função original envolve \ln x e, estritamente, \ln x não está definido em x=0. Para a maioria dos métodos numéricos em (0,\infty) consideramos a raiz positiva \,e.

Passo 3

Critério de parada a usar (explico didaticamente):
  • Em provas e implementações práticas costuma-se usar um de:
    • |x_{n+1}-x_n| < \epsilon (mudança no aproximante),
    • |f(x_n)| < \epsilon (resíduo pequeno).
  • Para comparação aqui eu usarei como referência o erro absoluto real |x_n - e| < \epsilon (porque conheço e); na prática, use |f(x_n)| ou |x_{n+1}-x_n|.
  • Portanto, uma iteração conta como parada quando |x_n - e| < 10^{-5}.
Agora vou apresentar cada método, sua ideia, garantia teórica, ordem de convergência (velocidade), e uma conta/estimativa prática do número de iterações usando escolhas naturais de inicialização/intervalo. Vou escolher um intervalo inicial para os métodos de bipartição/regula falsi e chutes iniciais para Newton/secante que sejam simples e razoáveis:
  • Tomarei o intervalo [1,4] para bissecção e regula falsi, porque f(1)=1>0 e f(4)=4-4\ln 4\approx -1{,}545<0, logo há mudança de sinal e o intervalo contém e.
  • Para Newton tomo chute inicial x_0=2 (próximo a e).
  • Para secante tomo x_0=1, x_1=4 (os extremos do intervalo).

Passo 4

Conceito rápido e fórmula: dado um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0, o método parte do teorema do valor intermediário e reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração, escolhendo o subintervalo onde o sinal muda. Garante convergência (desde que f seja contínua no intervalo).
Garantia:
  • Total: sempre converge a uma raiz em [a,b] se f for contínua e f(a)f(b)<0.
Ordem/rapidez:
  • Convergência linear: o erro (meio do intervalo) diminui por um fator 1/2 por iteração.
Estimativa de número de iterações:
  • Se |b-a|/2^N \le \epsilon então N \ge \log_2\!\left(\dfrac{b-a}{\epsilon}\right).
  • Com [a,b]=[1,4] temos b-a=3. Para \epsilon=10^{-5}:
N \ge \log_2\!\left(\dfrac{3}{10^{-5}}\right) = \log_2(3\times10^{5}) \approx 18{,}19,
logo é preciso N=19 iterações (arredondando para cima) para garantir que o erro absoluto em x seja menor que 10^{-5}.
Comentário prático: é simples, robusto e totalmente previsível, mas relativamente lento comparado a métodos de ordem superior.

Passo 5

Introdução / derivada:
  • A iteracão de Newton é
x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Para f(x)=x - x\ln x temos
f'(x) = 1 - (\ln x + 1) = -\ln x.
  • Substituindo na fórmula de Newton:
x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n - x_n\ln x_n}{-\ln x_n} = x_n + \dfrac{x_n(1-\ln x_n)}{\ln x_n} = \dfrac{x_n}{\ln x_n}.
Surpresa agradável: a fórmula de iteração simplifica para
x_{n+1} = \dfrac{x_n}{\ln x_n}.
Condições e garantia:
  • Newton não tem garantia global; tem convergência local e convergência quadrática quando a aproximação inicial está suficientemente próxima da raiz simples e f'(x)\neq 0 na vizinhança.
  • Risco concreto aqui: se x_n=1 então f'(1)=-\ln 1=0 e a fórmula falha (divisão por zero). Logo evite chutes em 1.
Ordem/rapidez:
  • Convergência quadrática (ordem 2) perto da raiz: número de dígitos corretos dobra aproximadamente a cada iteração quando já próximo.
Simulação numérica (chute x_0=2, critério |x_n-e|<10^{-5}):
  • x_0=2.
  • x_1 = \dfrac{2}{\ln 2} \approx 2{,}88539008.
  • x_2 = \dfrac{x_1}{\ln x_1} \approx 2{,}721809 (aprox).
  • x_3 \approx 2{,}718425 (aprox).
  • x_4 \approx 2{,}7182818285 (já com erro menor que 10^{-5}).
    Portanto, na prática com x_0=2 Newton atinge \epsilon=10^{-5} em cerca de 4 iterações.
Comentário didático: Newton foi muito rápido (quadrático) e a iteração simplificada x_{n+1}=x_n/\ln x_n é fácil de calcular. Só cuidado com x_n muito próximo de 1 (derivada nula) ou chutes muito ruins que podem causar divergência.

Passo 6

Fórmula e ideia:
  • O método da secante aproxima f' por uma diferença dividida usando dois últimos pontos:
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Não exige derivada, apenas duas aproximações iniciais.
Garantia:
  • Não é garantido globalmente; precisa de aproximações iniciais razoáveis para convergir. Geralmente converge se os chutes estão suficientemente próximos da raiz e função bem comportada.
Ordem/rapidez:
  • Convergência superlinear de ordem \alpha \approx 1{,}618 (a razão áurea). Mais lenta que Newton (quadrática) mas mais rápida que a bissecção (linear).
Simulação prática (chutes x_0=1, x_1=4):
  • Iterações aproximadas (valores arredondados):
    • x_2 \approx 2{,}1790
    • x_3 \approx 2{,}613
    • x_4 \approx 2{,}7309
    • x_5 \approx 2{,}71972
    • x_6 \approx 2{,}71814
    • x_7 \approx 2{,}71828 (aqui o erro absoluto fica da ordem 10^{-5} ou menor)
  • Na prática, com esses chutes, o secante leva aproximadamente entre 6 e 8 iterações para atingir \epsilon=10^{-5}. O número exato depende de arredondamentos; o ponto importante é que é mais lento que Newton mas bem mais rápido que bissecção.

Passo 7

Ideia:
  • Semelhante à secante, mas sempre mantém um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0: calcula a interseção da reta secante em (a,f(a)) e (b,f(b)) e substitui o ponto cujo sinal do f coincide com a interseção por este novo ponto (mantém o bracket).
Garantia:
  • Converge (globalmente) sob as mesmas hipóteses da bissecção (continuidade e sinal oposto nos extremos), pois sempre mantém um intervalo com mudança de sinal.
Comportamento prático:
  • A convergência pode ser lenta em problemas em que um dos extremos “fica preso” (o novo ponto sempre substitui o outro extremo), fazendo o método progredir lentamente — existe uma versão melhorada (regula falsi modificada) que corrige isso.
  • Para o nosso caso com [1,4] a primeira aproximação coincide com a secante inicial (valor ~2,179) e, na prática, a regula falsi aqui costuma convergir de forma comparável ao secante nas primeiras iterações, mas pode ficar um pouco mais lenta se um extremo ficar preso.
  • Estimativa prática: também da ordem de algumas (digamos) 6 10 iterações dependendo do comportamento local; porém, ao contrário da secante, ela tem a garantia de manter um bracket.

Passo 8

Ideia:
  • Reescrever f(x)=0 como x=g(x) e iterar x_{n+1}=g(x_n). Converge se g for uma contração (isto é, |g'(x)|<1 na vizinhança da raiz).
Aplicação aqui:
  • A equação dá diretamente \ln x = 1 e, portanto, x = e. Isso não fornece uma forma útil de g sem conhecer e a priori.
  • Poderíamos tentar rearranjos artificiais (por exemplo x = e^{1 - h(x)} com alguma escolha de h), mas há pouca razão para escolher um g com garantia de contração simples e convergência rápida.
  • Conclusão prática: ponto fixo não é competitivo aqui salvo se for construída uma função g cuidadosamente com |g'|<1 na vizinhança — o que é desnecessariamente trabalhoso quando Newton direto tem iteração simples x_{n+1}=x_n/\ln x_n.

Passo 9

  • Bissecção:
    • Garantia: sim (global), se f contínua e bracket existe.
    • Rapidez: linear (lentíssimo comparado a Newton/secante).
    • Iterações (no nosso caso [1,4]): 19 para \epsilon=10^{-5}.
    • Uso recomendado: quando se precisa de robustez/garantia.
  • Newton:
    • Garantia: não global; depende do chute inicial. Pode divergir se o chute for ruim (aqui: cuidado com x próximo de 1).
    • Rapidez: quadrática (muito rápido perto da raiz).
    • Iterações (com x_0=2): cerca de 4 iterações para \epsilon=10^{-5}.
    • Uso recomendado: se há um chute razoável, é a melhor escolha prática pela rapidez.
  • Secante:
    • Garantia: não garantida globalmente (mas frequentemente funciona).
    • Rapidez: superlinear (ordem \approx 1{,}618), mais lento que Newton, mais rápido que bissecção.
    • Iterações (com x_0=1,x_1=4): aproximadamente 6 8 para \epsilon=10^{-5}.
    • Uso recomendado: quando não se quer calcular derivada, e se é aceitável perder um pouco em rapidez em relação a Newton.
  • Regula Falsi:
    • Garantia: sim (mantém bracket).
    • Rapidez: pode ser lenta em alguns casos (pode “prender” um extremo); frequentemente comparável ao secante no início, mas com garantia de bracket.
    • Iterações: tipicamente algumas unidades (dependendo do caso), mas potencialmente mais que o secante se houver prisão do extremo.
    • Uso recomendado: quando se quer a garantia do bracket e não se dispõe (ou não se quer) do cálculo da derivada.
  • Ponto fixo:
    • Garantia e rapidez dependem de escolher g com |g'|<1. Não é natural nem recomendado aqui sem construção cuidadosa.
    • Uso recomendado: geralmente descartado neste problema concreto.
Recomendação prática: se tiver um chute razoável (por exemplo x_0=2), usar Newton com iteração x_{n+1}=x_n/\ln x_n — rápido e simples. Se precisar de garantia absoluta, comece com bissecção para localizar bem a raiz e, depois, faça Newton a partir do ponto obtido (estratégia híbrida robusta).

Resposta

Raiz positiva: e \approx 2{,}718281828459045
Bissecção: converge garantidamente (global), convergência linear; requer 19 iterações em [1,4] para \epsilon=10^{-5}.
Newton (com x_0=2): não garantido globalmente, convergência quadrática; cerca de 4 iterações para \epsilon=10^{-5}. Iteração simplificada: x_{n+1}=\dfrac{x_n}{\ln x_n}.
Secante (com x_0=1,x_1=4): não garantido globalmente, convergência superlinear de ordem \approx 1{,}618; aproximadamente 6 8 iterações para \epsilon=10^{-5}.
Regula falsi (com [1,4]): garante manutenção do bracket (convergência global), porém pode ser lenta em alguns casos; em prática leva número de iterações comparável ao secante (≈ 6 10), dependendo de comportamento local.
Ponto fixo: não recomendado aqui sem construção específica de g com |g'|<1; geralmente não competitivo para este problema.
Conclusão prática: para velocidade use Newton (a partir de um chute razoável); para garantia use bissecção (ou regula falsi) ou uma combinação: bissecção até um intervalo pequeno e então Newton para acelerar.

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