\int_{-1}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral impróprio
\int_{-1}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}\,dx.
Observamos que
\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}} =\frac{1}{|x-1|^{2/3}},
e essa função diverge em x=1. Logo, vamos dividir a integração em
[-1,1) e (1,2] e tratar cada parte como integral imprópria, usando técnicas de potências e substituição.

Passo 2

Para x<1, tem-se |x-1|=1-x. Assim
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}} =\int_{-1}^{1}(1-x)^{-2/3}\,dx.
Fazendo a substituição
t = 1-x,\quad dt = -dx,
os limites mudam de x=-1\mapsto t=2 e x\to1^-\mapsto t\to0^+. Então
\int_{-1}^{1}(1-x)^{-2/3}\,dx =\int_{t=2}^{0}t^{-2/3}(-dt) =\int_{0}^{2}t^{-2/3}\,dt.

Passo 3

Agora calculamos
\int_{0}^{2}t^{-2/3}\,dt.
Como \int t^{\alpha}\,dt = \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1} (para \alpha\neq -1), aqui \alpha=-\tfrac{2}{3} e \alpha+1=\tfrac{1}{3}. Logo
\int_{0}^{2}t^{-2/3}\,dt =\left[\frac{t^{1/3}}{1/3}\right]_{0}^{2} =3\bigl(2^{1/3}-0\bigr) =3\sqrt[3]{2}.

Passo 4

Para x>1, tem-se |x-1|=x-1. Assim
\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}} =\int_{1}^{2}(x-1)^{-2/3}\,dx.
Fazendo a substituição
u = x-1,\quad du = dx,
os limites vão de x\to1^+\mapsto u\to0^+ até x=2\mapsto u=1. Então
\int_{1}^{2}(x-1)^{-2/3}\,dx =\int_{0}^{1}u^{-2/3}\,du =\left[\frac{u^{1/3}}{1/3}\right]_{0}^{1} =3(1-0) =3.

Passo 5

Somando as duas partes, o valor do integral impróprio é
3\sqrt[3]{2} \;+\; 3 = 3\bigl(1 + \sqrt[3]{2}\bigr).

Resposta

3\bigl(1 + \sqrt[3]{2}\bigr)

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