\int_{-2}^{0} \frac{4}{\sqrt[5]{(x+1)}} d x

Passo 1

Olha só, a gente quer avaliar
\displaystyle \int_{-2}^{0} \frac{4}{\sqrt[5]{x+1}}\,dx.
Perceba que em x=-1 o denominador zera, então é uma integral imprópria. Vamos dividir em dois pedaços e usar limite e antiderivada.

Passo 2

A antiderivada de 4(x+1)^{-1/5} vem da regra \displaystyle \int t^n\,dt = \tfrac{t^{n+1}}{n+1}. Assim,
\int 4(x+1)^{-1/5}\,dx \;=\;4\cdot\frac{(x+1)^{4/5}}{4/5} \;=\;5\,(x+1)^{4/5} + C.

Passo 3

Então podemos escrever
\int_{-2}^{0}\frac{4}{\sqrt[5]{x+1}}\,dx =\lim_{a\to -1^-}\int_{-2}^{a}\frac{4}{\sqrt[5]{x+1}}\,dx +\lim_{b\to -1^+}\int_{b}^{0}\frac{4}{\sqrt[5]{x+1}}\,dx.

Passo 4

No trecho de -2 até a, usando a antiderivada:
\int_{-2}^{a}\frac{4}{\sqrt[5]{x+1}}\,dx =5\Bigl[(a+1)^{4/5}-(-1)^{4/5}\Bigr].
Quando a\to -1^-, a+1\to0 e (a+1)^{4/5}\to0, e sabemos que (-1)^{4/5}=1. Logo
I_1 = \lim_{a\to -1^-}5\bigl[0-1\bigr] = -5.

Passo 5

No trecho de b até 0:
\int_{b}^{0}\frac{4}{\sqrt[5]{x+1}}\,dx =5\Bigl[1-(b+1)^{4/5}\Bigr].
Quando b\to -1^+, (b+1)^{4/5}\to0, então
I_2 = 5\bigl[1-0\bigr] = 5.

Passo 6

Somando I_1 e I_2, a gente vê que dá
I = I_1 + I_2 = -5 + 5 = 0.

Resposta

0

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