\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{2x+1}\,dx.
O conteúdo envolve integração de função racional simples e análise de convergência de integral imprópria.

Passo 2

Vamos encontrar uma antiderivada de \frac{1}{2x+1}. Em geral,
\int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln\bigl|ax+b\bigr| + C.
Aqui a=2 e b=1, logo
\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x+1\bigr| + C.

Passo 3

Escrevemos a integral imprópria como limite:
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{2x+1}\,dx = \lim_{A\to -\infty} \int_{A}^{-1} \frac{1}{2x+1}\,dx = \lim_{A\to -\infty} \frac{1}{2}\Bigl[\ln\bigl|2x+1\bigr|\Bigr]_{x=A}^{x=-1}.

Passo 4

Vamos avaliar os termos:
Em x=-1 temos 2(-1)+1=-1 e \ln|{-1}|=\ln1=0.
Quando A\to -\infty, 2A+1\to -\infty e \bigl|2A+1\bigr|\to+\infty, portanto
\ln\bigl|2A+1\bigr|\to+\infty.
Logo
\lim_{A\to -\infty}\frac{1}{2}\Bigl[0 - \ln\bigl|2A+1\bigr|\Bigr] = \frac{1}{2}\bigl(0 - (+\infty)\bigr) = -\infty.
Como o resultado não é finito, a integral diverge.

Resposta

A integral diverge (vale -\infty).

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