\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{2 x+1} d x Passo 1O enunciado pede para calcular a integral imprópria \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{2x+1}\,dx. O conteúdo envolve integração de função racional simples e análise de convergência de integral imprópria. Passo 2Vamos encontrar uma antiderivada de \frac{1}{2x+1}. Em geral, \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln\bigl|ax+b\bigr| + C. Aqui a=2 e b=1, logo \int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x+1\bigr| + C. Passo 3Escrevemos a integral imprópria como limite: \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{2x+1}\,dx = \lim_{A\to -\infty} \int_{A}^{-1} \frac{1}{2x+1}\,dx = \lim_{A\to -\infty} \frac{1}{2}\Bigl[\ln\bigl|2x+1\bigr|\Bigr]_{x=A}^{x=-1}. Passo 4Vamos avaliar os termos: Em x=-1 temos 2(-1)+1=-1 e \ln|{-1}|=\ln1=0. Quando A\to -\infty, 2A+1\to -\infty e \bigl|2A+1\bigr|\to+\infty, portanto \ln\bigl|2A+1\bigr|\to+\infty. Logo \lim_{A\to -\infty}\frac{1}{2}\Bigl[0 - \ln\bigl|2A+1\bigr|\Bigr] = \frac{1}{2}\bigl(0 - (+\infty)\bigr) = -\infty. Como o resultado não é finito, a integral diverge. RespostaA integral diverge (vale -\infty). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados \int_{-1}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}} d x (3.5 pontos) Supondo que as funçöes diferenciáveis y=y(x) e z=z(x), z>0, sejam definidas implicitamente pelo sistema \left\{\begin{array}{r} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \\\ x+y+z=2 \end{array}\right. determinar as derivadas \frac{d y}{d x} e \frac{d z}{d x}. \int_{-2}^{0} \frac{4}{\sqrt[5]{(x+1)}} d x { }^{a} Questão. (35 pontos) Encontre a solução geral de y^{i v}-y=0.