\int \sqrt{\frac{x-1}{x^{5}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{\frac{x-1}{x^{5}}}\,dx.
Isso envolve manipular potências racionais e depois usar uma substituição trigonométrica para integrar um produto de potências. Vamos primeiro simplificar o integrando.

Passo 2

Reescrevendo
\sqrt{\frac{x-1}{x^{5}}} =\frac{\sqrt{x-1}}{x^{5/2}}
logo a integral vira
\int \frac{\sqrt{x-1}}{x^{5/2}}\,dx.
Agora fazemos a troca de variável
u = x-1 \quad\Longrightarrow\quad x = u+1,\quad dx = du,
ficando
\int \frac{\sqrt{u}}{(u+1)^{5/2}}\,du =\int u^{1/2}\,(u+1)^{-5/2}\,du.

Passo 3

Para integrar \int u^{1/2}(u+1)^{-5/2}du é conveniente usar
u = \tan^2\theta,
pois aí
du = 2\tan\theta\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta, \quad \sqrt{u}=\tan\theta, \quad u+1=\operatorname{sec}^2\theta.
Substituindo, o integrando vira
u^{1/2}(u+1)^{-5/2}\,du =\tan\theta\cdot\operatorname{sec}^{-5}\theta\cdot2\tan\theta\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta =2\tan^2\theta\,\operatorname{sec}^{-3}\theta\,d\theta.
Como \tan^2\theta=\operatorname{sec}^2\theta-1, isso é
2(\operatorname{sec}^2\theta-1)\operatorname{sec}^{-3}\theta\,d\theta =2\bigl(\operatorname{sec}^{-1}\theta-\operatorname{sec}^{-3}\theta\bigr)d\theta =2\bigl(\cos\theta-\cos^3\theta\bigr)d\theta.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
\int 2(\cos\theta-\cos^3\theta)\,d\theta =2\int\cos\theta\,d\theta-2\int\cos^3\theta\,d\theta.
Sabemos
\int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta, \quad \int\cos^3\theta\,d\theta =\int\cos\theta(1-\sin^2\theta)\,d\theta =\sin\theta-\frac{\sin^3\theta}{3}.
Logo
2\Bigl[\sin\theta-\Bigl(\sin\theta-\tfrac{\sin^3\theta}{3}\Bigr)\Bigr] =2\cdot\frac{\sin^3\theta}{3} =\frac{2}{3}\sin^3\theta+C.

Passo 5

Retornando de \theta para u: de u=\tan^2\theta temos
\sin\theta=\frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta} =\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u+1}},
então
\sin^3\theta =\frac{u^{3/2}}{(u+1)^{3/2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{3}\sin^3\theta =\frac{2}{3}\,\frac{u^{3/2}}{(u+1)^{3/2}}.

Passo 6

Finalmente substituímos u=x-1 e u+1=x:
\frac{2}{3}\,\frac{u^{3/2}}{(u+1)^{3/2}} =\frac{2}{3}\,\frac{(x-1)^{3/2}}{x^{3/2}}+C.

Resposta

\boxed{\int \sqrt{\frac{x-1}{x^{5}}}\,dx =\frac{2}{3}\,\frac{(x-1)^{3/2}}{x^{3/2}}+C.}

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