O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{3 x^{2}+5 x+2}{x^{3}+x^{2}+4 x+4}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas: \;1.\; Temos uma função racional — polinômio no numerador e polinômio no denominador. \;2.\; O numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3. \;3.\; Não há outras condições (constantes, limites etc.), então buscamos uma primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática e sem pular etapas): uma técnica muito útil é verificar se parte do numerador é proporcional à derivada do denominador, porque
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C,
ou seja, se reconhecermos f'(x) no numerador, ganhamos uma integral direta. Se sobrar uma parte, podemos decompor essa parte restante em frações parciais usando a fatoração do denominador. Vou aplicar essa ideia aqui.
(Explicação rápida do porquê: a derivada do denominador aparece naturalmente ao derivar \ln do denominador. Para o resto, decompor em termos simples como \dfrac{A}{x+a} e \dfrac{Bx+C}{x^{2}+b^{2}} permite integrar com fórmulas elementares.)
Passo 3
Calcular a derivada do denominador e comparar com o numerador.
Denominador: g(x)=x^{3}+x^{2}+4x+4.
Derivada:
g'(x)=3x^{2}+2x+4.
Numerador é 3x^{2}+5x+2. Vamos escrever o numerador como g'(x) mais um resto: