\int \frac{3 x^{2}+5 x+2}{x^{3}+x^{2}+4 x+4} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{3 x^{2}+5 x+2}{x^{3}+x^{2}+4 x+4}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\;1.\; Temos uma função racional — polinômio no numerador e polinômio no denominador.
\;2.\; O numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3.
\;3.\; Não há outras condições (constantes, limites etc.), então buscamos uma primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática e sem pular etapas): uma técnica muito útil é verificar se parte do numerador é proporcional à derivada do denominador, porque
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C,
ou seja, se reconhecermos f'(x) no numerador, ganhamos uma integral direta. Se sobrar uma parte, podemos decompor essa parte restante em frações parciais usando a fatoração do denominador. Vou aplicar essa ideia aqui.
(Explicação rápida do porquê: a derivada do denominador aparece naturalmente ao derivar \ln do denominador. Para o resto, decompor em termos simples como \dfrac{A}{x+a} e \dfrac{Bx+C}{x^{2}+b^{2}} permite integrar com fórmulas elementares.)

Passo 3

Calcular a derivada do denominador e comparar com o numerador.
Denominador: g(x)=x^{3}+x^{2}+4x+4.
Derivada:
g'(x)=3x^{2}+2x+4.
Numerador é 3x^{2}+5x+2. Vamos escrever o numerador como g'(x) mais um resto:
3x^{2}+5x+2 = \bigl(3x^{2}+2x+4\bigr) + \bigl(3x-2\bigr).
Logo
\frac{3x^{2}+5x+2}{g(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{3x-2}{g(x)}.
Portanto
\int \frac{3x^{2}+5x+2}{g(x)}\,dx = \int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx + \int \frac{3x-2}{g(x)}\,dx.

Passo 4

Integrar a parte fácil: usar a identidade \int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\ln|g(x)|+C. Assim
\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln\bigl|x^{3}+x^{2}+4x+4\bigr|.
Resta calcular \displaystyle \int \frac{3x-2}{x^{3}+x^{2}+4x+4}\,dx. Para isso precisamos fatorar o denominador.

Passo 5

Fatoração do denominador por agrupamento (mostrando o passo):
x^{3}+x^{2}+4x+4 = x^{2}(x+1)+4(x+1) = (x^{2}+4)(x+1).
Portanto
\frac{3x-2}{x^{3}+x^{2}+4x+4}=\frac{3x-2}{(x+1)(x^{2}+4)}.

Passo 6

Fazer a decomposição em frações parciais. Para fatores lineares e quadráticos irreduzíveis usamos a forma
\frac{3x-2}{(x+1)(x^{2}+4)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+4) obtemos
3x-2 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)(x+1).
Expandindo o lado direito:
3x-2 = A x^{2} + 4A + Bx^{2} + Bx + Cx + C.
Agrupando termos:
3x-2 = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (4A+C).
Comparando coeficientes com o polinômio 0\cdot x^{2} + 3x + (-2) resulta o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] B+C=3,\\[4pt] 4A+C=-2. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para A,B,C. Da primeira equação B=-A. Substituindo nas outras:
-B + C = 3 \Rightarrow -A + C = 3 \Rightarrow C = 3 + A.
Substituindo em 4A+C=-2:
4A + (3 + A) = -2 \Rightarrow 5A + 3 = -2 \Rightarrow 5A = -5 \Rightarrow A = -1.
Então B = -A = 1 e C = 3 + A = 2.
Logo a decomposição é
\frac{3x-2}{(x+1)(x^{2}+4)} = -\frac{1}{x+1} + \frac{x+2}{x^{2}+4}.

Passo 8

Agora integramos cada termo separado. Relembrando fórmulas úteis e o porquê delas:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C. Isso vem do fato de que a derivada de \ln|x+a| é 1/(x+a).
  2. \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+a^{2})+C. Isso porque, com u=x^{2}+a^{2}, temos du=2x\,dx.
  3. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C. É a integral padrão da forma \frac{1}{u^{2}+1}.
Aplicando essas fórmulas com a=2 para nosso caso:
Integral do termo -\dfrac{1}{x+1}:
\int -\frac{1}{x+1}\,dx = -\ln|x+1|.
Integral do termo \dfrac{x+2}{x^{2}+4} = \dfrac{x}{x^{2}+4} + \dfrac{2}{x^{2}+4}:
\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+4),
\int \frac{2}{x^{2}+4}\,dx = 2\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)=\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 9

Juntando tudo: a integral original é a soma da parte \ln|g(x)| (do Passo 4) com a integral do resto (Passo 8). Portanto
\int \frac{3x^{2}+5x+2}{x^{3}+x^{2}+4x+4}\,dx = \ln\bigl|x^{3}+x^{2}+4x+4\bigr| - \ln|x+1| + \frac{1}{2}\ln(x^{2}+4) + \arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C,
onde C é a constante de integração. Podemos, se quisermos, recolher logaritmos, mas essa forma é clara e prática para a prova.

Resposta

\ln\bigl|x^{3}+x^{2}+4x+4\bigr| - \ln|x+1| + \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+4) + \arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + C

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