r: \vec{X}(t)=(2,1,0)+t(1,-2,3).
a) Verifique se o ponto A(3,-1,3) pertence a r.
b) Determine a equação do plano que contém a reta r e é paralelo ao plano \pi: x+z=0.
\text { (T:) } \quad x+z=d \cdot \quad \Delta m=(1,0,1)

Passo 1

O enunciado fornece a reta r e o ponto A, e pede duas coisas:
  • Verificar se o ponto A(3,-1,3) pertence à reta r.
  • Determinar a equação do plano que contém a reta r e é paralelo ao plano \pi: x+z=0.
Dados relevantes que eu tenho:
  • A forma paramétrica da reta:
\vec{X}(t)=(2,1,0)+t(1,-2,3).
Isso significa que um ponto genérico da reta tem coordenadas (2+t,\;1-2t,\;0+3t).
  • O ponto proposto: A=(3,-1,3).
  • O plano \pi tem equação \;x+z=0.;O vetor normal de \pi é (1,0,1) (peguei isso da equação \;x+z=0, pois coeficientes de x,y,z formam o normal).
  • Pergunta b) pede um plano paralelo a \pi. Planos paralelos têm vetores normais paralelos (ou iguais até fator escalar). Logo um plano paralelo a \pi terá normal proporcional a (1,0,1) — em particular, podemos tentar a forma \;x+z=d para algum escalar d.

Passo 2

Verificação pedida em (a): técnica para checar se A pertence a r. Eu procuro um parâmetro t tal que as coordenadas da reta sejam iguais às de A. Escrevo o sistema obtido ao igualar coordenadas:
2+t=3,\qquad 1-2t=-1,\qquad 0+3t=3.
Agora resolvo cada equação:
  • Da primeira: 2+t=3 \Rightarrow t=1.
  • Da segunda: 1-2t=-1 \Rightarrow -2t=-2 \Rightarrow t=1.
  • Da terceira: 3t=3 \Rightarrow t=1.
Todas as três coordenadas dão o mesmo valor t=1. Isso significa que existe t tal que o ponto da reta é exatamente A, portanto
A\in r.

Passo 3

Agora vou trabalhar a parte (b). Primeiro explico a ideia teórica necessária (passo-a-passo, sem pular):
  • Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são paralelos (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
  • O plano \pi tem normal \vec{n}=(1,0,1). Logo qualquer plano paralelo a \pi tem normal paralelo a \vec{n}; sem perda, podemos escrever sua equação na forma
x+z=d
para algum d\in\mathbb{R}.
  • Se um plano contém a reta r, então cada ponto de r deve satisfazer a equação do plano. Em particular, dois pontos distintos da reta devem dar o mesmo valor de d ao calcular x+z.
  • Outra condição equivalente (muito usada): para que uma reta esteja inteiramente dentro de um plano, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Em notação: se \vec{v} é o vetor diretor da reta e \vec{n} é o normal do plano, então \vec{n}\cdot\vec{v}=0 é condição necessária e suficiente para que a reta seja paralela ao plano (ou esteja contida nele, quando também um ponto da reta pertence ao plano). Vou aplicar essas idéias ao caso concreto.

Passo 4

Calculo o produto escalar entre o normal de \pi e o vetor diretor de r. O vetor diretor de r é \vec{v}=(1,-2,3) (peguei da parametrização). O normal é \vec{n}=(1,0,1). O produto escalar é
\vec{n}\cdot\vec{v}= (1)\cdot(1)+ (0)\cdot(-2)+ (1)\cdot(3) = 1+0+3 = 4.
Como \vec{n}\cdot\vec{v}=4\neq 0, concluímos que \vec{v} não é ortogonal a \vec{n}. Geometricamente isso quer dizer que a reta r não é paralela ao plano \pi (ela corta ou forma ângulo com \pi), portanto não é possível que r esteja totalmente contida em um plano cujo normal seja \vec{n}. Em outras palavras: não existe plano paralelo a \pi que contenha a reta r, porque para isso o vetor diretor de r precisaria ser ortogonal ao normal comum.

Passo 5

Faço também a verificação algébrica alternativa (mostra a contradição direto com a forma \;x+z=d). Se existisse um plano paralelo a \pi que contivesse r, então todos os pontos da reta satisfariam x+z=d para o mesmo d. Tomo dois pontos da reta: o ponto de t=0, que é P_0=(2,1,0), e o ponto A (que vimos ser o ponto t=1), A=(3,-1,3). Calculo x+z para cada um:
  • Para P_0: x+z=2+0=2. Assim d deveria ser 2.
  • Para A: x+z=3+3=6. Assim d deveria ser 6.
Como 2\neq 6, não existe um único d que valha para toda a reta; isso confirma, por via algébrica, que não há plano paralelo a \pi que contenha r.

Resposta

a) A\in r.\n
b) Não existe plano paralelo a \pi: x+z=0 que contenha r (pois (1,0,1)\cdot(1,-2,3)=4\neq0, logo o vetor diretor de r não é ortogonal ao normal de \pi; alternativa algébrica: pontos de r dão x+z=2 e x+z=6, contradição).

Exercícios relacionados