.
a) Verifique se o ponto
pertence a
.
b) Determine a equação do plano que contém a reta
e é paralelo ao plano
.
a) Verifique se o ponto
b) Determine a equação do plano que contém a reta
Passo 1
O enunciado fornece a reta
e o ponto
, e pede duas coisas:
- Verificar se o ponto
pertence à reta . - Determinar a equação do plano que contém a reta
e é paralelo ao plano .
Dados relevantes que eu tenho:
- A forma paramétrica da reta:
Isso significa que um ponto genérico da reta tem coordenadas
.
- O ponto proposto:
. - O plano
tem equação .;O vetor normal de é (peguei isso da equação , pois coeficientes de formam o normal). - Pergunta b) pede um plano paralelo a
. Planos paralelos têm vetores normais paralelos (ou iguais até fator escalar). Logo um plano paralelo a terá normal proporcional a — em particular, podemos tentar a forma para algum escalar .
Passo 2
Verificação pedida em (a): técnica para checar se
pertence a
. Eu procuro um parâmetro
tal que as coordenadas da reta sejam iguais às de
. Escrevo o sistema obtido ao igualar coordenadas:
Agora resolvo cada equação:
- Da primeira:
- Da segunda:
- Da terceira:
Todas as três coordenadas dão o mesmo valor
. Isso significa que existe
tal que o ponto da reta é exatamente
, portanto
Passo 3
Agora vou trabalhar a parte (b). Primeiro explico a ideia teórica necessária (passo-a-passo, sem pular):
- Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são paralelos (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
- O plano
tem normal . Logo qualquer plano paralelo a tem normal paralelo a ; sem perda, podemos escrever sua equação na forma
para algum
.
- Se um plano contém a reta
, então cada ponto de deve satisfazer a equação do plano. Em particular, dois pontos distintos da reta devem dar o mesmo valor de ao calcular . - Outra condição equivalente (muito usada): para que uma reta esteja inteiramente dentro de um plano, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Em notação: se
é o vetor diretor da reta e é o normal do plano, então é condição necessária e suficiente para que a reta seja paralela ao plano (ou esteja contida nele, quando também um ponto da reta pertence ao plano). Vou aplicar essas idéias ao caso concreto.
Passo 4
Calculo o produto escalar entre o normal de
e o vetor diretor de
. O vetor diretor de
é
(peguei da parametrização). O normal é
. O produto escalar é
Como
, concluímos que
não é ortogonal a
. Geometricamente isso quer dizer que a reta
não é paralela ao plano
(ela corta ou forma ângulo com
), portanto não é possível que
esteja totalmente contida em um plano cujo normal seja
. Em outras palavras: não existe plano paralelo a
que contenha a reta
, porque para isso o vetor diretor de
precisaria ser ortogonal ao normal comum.
Passo 5
Faço também a verificação algébrica alternativa (mostra a contradição direto com a forma
). Se existisse um plano paralelo a
que contivesse
, então todos os pontos da reta satisfariam
para o mesmo
. Tomo dois pontos da reta: o ponto de
, que é
, e o ponto
(que vimos ser o ponto
),
. Calculo
para cada um:
- Para
: . Assim deveria ser . - Para
: . Assim deveria ser .
Como
, não existe um único
que valha para toda a reta; isso confirma, por via algébrica, que não há plano paralelo a
que contenha
.
Resposta
a)
.\n
b) Não existe plano paralelo a que contenha
(pois
, logo o vetor diretor de
não é ortogonal ao normal de
; alternativa algébrica: pontos de
dão
e
, contradição).
b) Não existe plano paralelo a