O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+2}{x^{3}-2 x^{2}+x-2}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais que vamos usar depois (apenas listar): 1) o integrando é uma razão de polinômios com numerador de grau 2 e denominador de grau 3; 2) normalmente, para integrar frações racionais, tentamos fatorar o denominador e usar decomposição em frações simples (partial fractions), porque isso transforma a integral em somas de integrais padrão; 3) a resposta deve vir acompanhada da constante de integração C.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador para ver a estrutura. O denominador é
x^{3}-2 x^{2}+x-2.
Uma técnica prática para fatorar polinômios é o agrupamento: agrupar termos em pares e fatorar cada par:
x^{3}-2 x^{2}+x-2 = (x^{3}-2x^{2}) + (x-2).
Fatorando cada par:
x^{2}(x-2) + 1\cdot(x-2) = (x^{2}+1)(x-2).
Portanto o denominador fatorou-se como
x^{3}-2 x^{2}+x-2=(x-2)(x^{2}+1).
Passo 3
Como o denominador é (x-2)(x^{2}+1) com um fator linear distinto e um quadrático irreduzível, a forma de decomposição em frações parciais para
onde A,B,C são constantes a determinar. Explico por quê: para cada fator linear distinto (x-2) usamos um termo \dfrac{A}{x-2}; para o fator quadrático irreduzível x^{2}+1 usamos um numerador de grau menor que 2, isto é Bx+C.
Passo 4
Multiplicamos a identidade pela denominação comum (x-2)(x^{2}+1) para obter uma igualdade de polinômios no numerador:
x^{2}+2 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-2).
Agora expandimos o lado direito. Primeiro A(x^{2}+1)=Ax^{2}+A. Depois (Bx+C)(x-2)=Bx^{2}-2Bx+Cx-2C. Somando:
x^{2}+2 = (A+ B)x^{2} + (-2B + C)x + (A - 2C).
Agora igualamos coeficientes dos termos correspondentes (coeficiente de x^{2}, de x e termo constante) porque dois polinômios iguais têm coeficientes iguais.
Passo 5
Escrevendo o sistema de equações para os coeficientes:
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] -2B + C = 0,\\[4pt] A - 2C = 2. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo. Da segunda equação temos