\int \frac{x{2}+2}{x{3}-2 x^{2}+x-2} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+2}{x^{3}-2 x^{2}+x-2}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais que vamos usar depois (apenas listar): 1) o integrando é uma razão de polinômios com numerador de grau 2 e denominador de grau 3; 2) normalmente, para integrar frações racionais, tentamos fatorar o denominador e usar decomposição em frações simples (partial fractions), porque isso transforma a integral em somas de integrais padrão; 3) a resposta deve vir acompanhada da constante de integração C.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador para ver a estrutura. O denominador é
x^{3}-2 x^{2}+x-2.
Uma técnica prática para fatorar polinômios é o agrupamento: agrupar termos em pares e fatorar cada par:
x^{3}-2 x^{2}+x-2 = (x^{3}-2x^{2}) + (x-2).
Fatorando cada par:
x^{2}(x-2) + 1\cdot(x-2) = (x^{2}+1)(x-2).
Portanto o denominador fatorou-se como
x^{3}-2 x^{2}+x-2=(x-2)(x^{2}+1).

Passo 3

Como o denominador é (x-2)(x^{2}+1) com um fator linear distinto e um quadrático irreduzível, a forma de decomposição em frações parciais para
\frac{x^{2}+2}{(x-2)(x^{2}+1)}
é
\frac{x^{2}+2}{(x-2)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explico por quê: para cada fator linear distinto (x-2) usamos um termo \dfrac{A}{x-2}; para o fator quadrático irreduzível x^{2}+1 usamos um numerador de grau menor que 2, isto é Bx+C.

Passo 4

Multiplicamos a identidade pela denominação comum (x-2)(x^{2}+1) para obter uma igualdade de polinômios no numerador:
x^{2}+2 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-2).
Agora expandimos o lado direito. Primeiro A(x^{2}+1)=Ax^{2}+A. Depois (Bx+C)(x-2)=Bx^{2}-2Bx+Cx-2C. Somando:
x^{2}+2 = (A+ B)x^{2} + (-2B + C)x + (A - 2C).
Agora igualamos coeficientes dos termos correspondentes (coeficiente de x^{2}, de x e termo constante) porque dois polinômios iguais têm coeficientes iguais.

Passo 5

Escrevendo o sistema de equações para os coeficientes:
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] -2B + C = 0,\\[4pt] A - 2C = 2. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo. Da segunda equação temos
C = 2B.
Da primeira:
A = 1 - B.
Substituímos A e C na terceira equação:
(1 - B) - 2(2B) = 2.
Calculando:
1 - B - 4B = 2 \quad\Rightarrow\quad 1 - 5B = 2 \quad\Rightarrow\quad -5B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{1}{5}.
Então
C = 2B = -\frac{2}{5},
e
A = 1 - B = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}.
Conferência rápida: inserindo A,B,C na igualdade dos coeficientes recuperamos 1,0,2 como esperado.]

Passo 6

Substituímos A,B,C na decomposição parcial. Assim
\frac{x^{2}+2}{(x-2)(x^{2}+1)} = \frac{6/5}{x-2} + \frac{(-\tfrac{1}{5})x + (-\tfrac{2}{5})}{x^{2}+1}.
Para ficar mais claro:
\frac{x^{2}+2}{(x-2)(x^{2}+1)} = \frac{6}{5}\cdot\frac{1}{x-2} - \frac{1}{5}\cdot\frac{x}{x^{2}+1} - \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}.
Então a integral original se separa em somas de integrais mais simples:
\int \frac{x^{2}+2}{x^{3}-2 x^{2}+x-2}\,dx = \frac{6}{5}\int\frac{1}{x-2}\,dx - \frac{1}{5}\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx - \frac{2}{5}\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 7

Vamos calcular cada integral padrão e lembrar as razões e substituições usadas:
  1. Integral de \dfrac{1}{x-2}. Fórmula básica:
\int \frac{1}{x-2}\,dx = \ln|x-2| + C.
Explico rápido: se u=x-2 então du=dx e \int du/u=\ln|u|.
  1. Integral de \dfrac{x}{x^{2}+1}. Aqui fazemos a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Portanto
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln(u) + C = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C.
  1. Integral de \dfrac{1}{x^{2}+1}. Esta é a integral que dá a função arco-tangente:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C.
(Recorde: derivada de \arctan x é \dfrac{1}{x^{2}+1}.)

Passo 8

Agora juntamos os resultados com os coeficientes. Substituindo as integrais:
\begin{aligned} \int \frac{x^{2}+2}{x^{3}-2 x^{2}+x-2}\,dx &= \frac{6}{5}\ln|x-2| - \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) - \frac{2}{5}\arctan x + C\\[6pt] &= \frac{6}{5}\ln|x-2| - \frac{1}{10}\ln(x^{2}+1) - \frac{2}{5}\arctan x + C. \end{aligned}
Se quiser, dá para reunir os dois logaritmos num único log com potência, mas a forma acima é clara e direta para a prova.]

Resposta

\frac{6}{5}\ln|x-2|-\frac{1}{10}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)-\frac{2}{5}\arctan x + C

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