Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: calcular
. - Dados:
- Observação: a notação
significa .
Passo 2
Ideia geral e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
-
Temos uma composição de funções:
é função de através de , e é função de porque e dependem de . Para composições a regra da cadeia diz, em linguagem simples: derivar de fora multiplicado pela derivada do que está dentro. -
Escrevendo em fórmulas: se
e , então -
Aqui
. Para derivar use a regra da potência e a regra da cadeia interna: se com , então porque. -
Também precisaremos da derivada do produto
quando e . A regra do produto dá:
Passo 3
Calcular
em termos de
e sua derivada passo a passo:
-
Primeiro escrevemos
substituindo e : -
Agora derivamos
. Usamos a regra do produto para e . Assim -
Fatorando
:
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para obter
:
-
Lembre:
com . Pela regra da cadeia, -
Substituindo
: -
O fator
cancela com , ficando -
Finalmente substituímos
:
Passo 5
Forma alternativa (opcional, usando identidade hiperbólica):
- Usando
, podemos escrever Como , obtemos a forma equivalente
Resposta
ou, equivalentemente,