Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar d z / d t.
z=\operatorname{cosh} ^{2} x y ; x=t / 2, y=e^{t}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: calcular \dfrac{dz}{dt}.
  • Dados: z=\operatorname{cosh}^{2}(x y), \qquad x=\dfrac{t}{2}, \qquad y=e^{t}.
  • Observação: a notação \operatorname{cosh}^{2}(x y) significa \bigl(\operatorname{cosh}(xy)\bigr)^{2}.

Passo 2

Ideia geral e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Temos uma composição de funções: z é função de u:=xy através de z=\bigl(\operatorname{cosh}(u)\bigr)^{2}, e u é função de t porque x e y dependem de t. Para composições a regra da cadeia diz, em linguagem simples: derivar de fora multiplicado pela derivada do que está dentro.
  • Escrevendo em fórmulas: se z=F(u) e u=u(t), então
    \frac{dz}{dt}=F'(u)\,\frac{du}{dt}.
  • Aqui F(u)=\bigl(\operatorname{cosh} u\bigr)^{2}. Para derivar F use a regra da potência e a regra da cadeia interna: se F(u)=v(u)^{2} com v(u)=\operatorname{cosh} u, então
    F'(u)=2v(u)\,v'(u)=2\operatorname{cosh} u\cdot\operatorname{sinh} u,
    porque \dfrac{d}{du}\operatorname{cosh} u=\operatorname{sinh} u.
  • Também precisaremos da derivada do produto u=xy quando x=x(t) e y=y(t). A regra do produto dá:
    \frac{du}{dt}=\frac{dx}{dt}\,y + x\,\frac{dy}{dt}.

Passo 3

Calcular u=xy em termos de t e sua derivada passo a passo:
  • Primeiro escrevemos u substituindo x e y:
    u=xy=\left(\frac{t}{2}\right)\cdot e^{t}=\frac{t e^{t}}{2}.
  • Agora derivamos u. Usamos a regra do produto para x(t)=t/2 e y(t)=e^{t}.
    \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2},\qquad \frac{dy}{dt}=e^{t}.
    Assim
    \frac{du}{dt}=\frac{dx}{dt}\,y + x\,\frac{dy}{dt} =\frac{1}{2}\,e^{t} + \frac{t}{2}\,e^{t}.
  • Fatorando \dfrac{1}{2}e^{t}:
    \frac{du}{dt}=\frac{1}{2}e^{t}\bigl(1+t\bigr).

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{dz}{dt}:
  • Lembre: z=F(u) com F'(u)=2\operatorname{cosh} u\,\operatorname{sinh} u. Pela regra da cadeia,
    \frac{dz}{dt}=F'(u)\,\frac{du}{dt}=2\operatorname{cosh} u\,\operatorname{sinh} u\cdot\frac{du}{dt}.
  • Substituindo \dfrac{du}{dt}=\dfrac{1}{2}e^{t}(1+t):
    \frac{dz}{dt}=2\operatorname{cosh} u\,\operatorname{sinh} u\cdot\frac{1}{2}e^{t}(1+t).
  • O fator 2 cancela com \tfrac{1}{2}, ficando
    \frac{dz}{dt}=e^{t}(1+t)\,\operatorname{cosh} u\,\operatorname{sinh} u.
  • Finalmente substituímos u=\dfrac{t e^{t}}{2}:
    \frac{dz}{dt}=e^{t}(1+t)\,\operatorname{cosh}\!\left(\frac{t e^{t}}{2}\right)\operatorname{sinh}\!\left(\frac{t e^{t}}{2}\right).

Passo 5

Forma alternativa (opcional, usando identidade hiperbólica):
  • Usando \operatorname{sinh}(2u)=2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u, podemos escrever \operatorname{cosh} u\,\operatorname{sinh} u=\frac{1}{2}\operatorname{sinh}(2u).Como 2u=t e^{t}, obtemos a forma equivalente \frac{dz}{dt}=\frac{1}{2}e^{t}(1+t)\,\operatorname{sinh}\!\bigl(t e^{t}\bigr).

Resposta

\frac{dz}{dt}=e^{t}(1+t)\,\operatorname{cosh}\!\left(\frac{t e^{t}}{2}\right)\operatorname{sinh}\!\left(\frac{t e^{t}}{2}\right)
ou, equivalentemente,
\frac{dz}{dt}=\frac{1}{2}e^{t}(1+t)\,\operatorname{sinh}\!\bigl(t e^{t}\bigr).

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