Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar d z / d t.
z=e^{1-x y} ; x=t^{1 / 3}, y=t^{3}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes funções e pede a derivada de z em relação a t:
  • z = e^{1 - x y}.
  • x = t^{1/3}.
  • y = t^{3}.
Pede-se calcular \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Vamos usar a forma apropriada da regra da cadeia para uma função z que depende de duas variáveis x e y, as quais, por sua vez, dependem de t. A fórmula é
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando devagar:
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada de z em relação a x mantendo y fixo (chama-se derivada parcial).
  • \dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y mantendo x fixo.
  • \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas usuais das funções x(t) e y(t).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z. Para isso, é útil ver z como z=e^{u} com u=1-xy. Usando a regra da cadeia (da função exponencial) e a derivada do produto xy:
  • Primeiro, \dfrac{dz}{du}=e^{u}. Como u=1-xy, tem-se
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=e^{1-xy}\cdot\frac{\partial (1-xy)}{\partial x}.
Como \dfrac{\partial (1-xy)}{\partial x}=-y, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}=-y\,e^{1-xy}.
  • De forma análoga,
\frac{\partial z}{\partial y}=-x\,e^{1-xy}.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} usando a regra do poder:
  • x=t^{1/3} implica
\frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}t^{-2/3}.
  • y=t^{3} implica
\frac{dy}{dt}=3t^{2}.

Passo 5

Substituir as parciais e as derivadas de x,y na fórmula da cadeia:
\frac{dz}{dt}=\left(-y\,e^{1-xy}\right)\left(\frac{1}{3}t^{-2/3}\right)+\left(-x\,e^{1-xy}\right)\left(3t^{2}\right).
Fatorando -e^{1-xy} temos
\frac{dz}{dt}=-e^{1-xy}\left(y\cdot\frac{1}{3}t^{-2/3}+x\cdot 3t^{2}\right).

Passo 6

Agora substituir x=t^{1/3} e y=t^{3} e simplificar potências de t:
  • Para o primeiro termo dentro do parêntese:
y\cdot\frac{1}{3}t^{-2/3}=t^{3}\cdot\frac{1}{3}t^{-2/3}=\frac{1}{3}t^{3-2/3}=\frac{1}{3}t^{7/3}.
  • Para o segundo termo:
x\cdot 3t^{2}=t^{1/3}\cdot 3t^{2}=3t^{1/3+2}=3t^{7/3}.
Somando os dois termos:
\frac{1}{3}t^{7/3}+3t^{7/3}=\left(\frac{1}{3}+3\right)t^{7/3}=\frac{10}{3}t^{7/3}.
Além disso, o expoente no exponencial fica 1-xy=1-t^{1/3}\cdot t^{3}=1-t^{10/3}. Portanto
\frac{dz}{dt}=-e^{1-t^{10/3}}\cdot\frac{10}{3}t^{7/3}.

Passo 7

Escrevendo de forma final e arrumada:
\frac{dz}{dt}=-\frac{10}{3}\,t^{7/3}\,e^{1-t^{10/3}}.

Resposta

\displaystyle -\frac{10}{3}\,t^{7/3}\,e^{1-t^{10/3}}

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