Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes funções e pede a derivada de
em relação a
:
-
. -
. -
.
Pede-se calcular
.
Passo 2
Vamos usar a forma apropriada da regra da cadeia para uma função
que depende de duas variáveis
e
, as quais, por sua vez, dependem de
. A fórmula é
Explicando devagar:
-
é a derivada de em relação a mantendo fixo (chama-se derivada parcial). -
é a derivada parcial de em relação a mantendo fixo. -
e são as derivadas usuais das funções e .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Para isso, é útil ver
como
com
. Usando a regra da cadeia (da função exponencial) e a derivada do produto
:
- Primeiro,
. Como , tem-se
Como
, obtemos
- De forma análoga,
Passo 4
Calcular
e
usando a regra do poder:
-
implica
-
implica
Passo 5
Substituir as parciais e as derivadas de
na fórmula da cadeia:
Fatorando
temos
Passo 6
Agora substituir
e
e simplificar potências de
:
- Para o primeiro termo dentro do parêntese:
- Para o segundo termo:
Somando os dois termos:
Além disso, o expoente no exponencial fica
. Portanto
Passo 7
Escrevendo de forma final e arrumada: