\int x^{3}\left(2+x^{4}\right)^{5} d x, \quad u=2+x^{4}

Passo 1

Temos que calcular a integral
\int x^{3}\left(2+x^{4}\right)^{5}\,dx,
e o enunciado já nos dá a substituição proposta: u=2+x^{4}. O objetivo é reescrever a integral em termos de u e du e, então, encontrar a primitiva.

Passo 2

Ideia da substituição (explicação didática): quando a integral contém uma expressão composta (g(x))^{n} e aparece junto a algo que é proporcional a g'(x), podemos definir u=g(x). Em seguida usamos a relação
du = g'(x)\,dx,
para trocar dx por du e transformar a integral numa integral em u mais simples. Aqui g(x)=2+x^{4}.

Passo 3

Calcular du a partir de u=2+x^{4}. Diferenciando em relação a x obtemos
du = 4x^{3}\,dx.
Isso significa que podemos isolar x^{3}\,dx como
x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Expliquei: pegamos a derivada de x^{4} que é 4x^{3}, e o 2 some porque é constante.

Passo 4

Fazer a substituição na integral: como u=2+x^{4} então (2+x^{4})^{5}=u^{5}, e como vimos x^{3}\,dx=\tfrac{1}{4}\,du. Assim
\int x^{3}\left(2+x^{4}\right)^{5}\,dx = \int u^{5}\left(\frac{1}{4}\,du\right) = \frac{1}{4}\int u^{5}\,du.
Expliquei: trocamos toda a parte em x por u e du, e tiramos a constante \tfrac{1}{4} para fora da integral.

Passo 5

Integrar em u. A primitiva de u^{5} é \tfrac{u^{6}}{6} (porque, em geral, \int u^{n}\,du=\tfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1). Então
\frac{1}{4}\int u^{5}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{u^{6}}{6} = \frac{u^{6}}{24}.
Expliquei a fórmula usada e como combinei as constantes.

Passo 6

Voltar para a variável original x. Lembrando que u=2+x^{4}, obtemos a primitiva em x:
\frac{\left(2+x^{4}\right)^{6}}{24} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito para prova): derivando o resultado deve voltar ao integrando. Diferenciando
\frac{d}{dx}\left(\frac{(2+x^{4})^{6}}{24}\right) = \frac{1}{24}\cdot 6(2+x^{4})^{5}\cdot 4x^{3}
pela regra da cadeia. O fator multiplica para \tfrac{6\cdot 4}{24}=1, então o resultado da derivada é
x^{3}(2+x^{4})^{5},
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.

Resposta

\frac{\left(2+x^{4}\right)^{6}}{24}+C

Exercícios relacionados