Passo 1
Temos que calcular a integral
e o enunciado já nos dá a substituição proposta:
. O objetivo é reescrever a integral em termos de
e
e, então, encontrar a primitiva.
Passo 2
Ideia da substituição (explicação didática): quando a integral contém uma expressão composta
e aparece junto a algo que é proporcional a
, podemos definir
. Em seguida usamos a relação
para trocar
por
e transformar a integral numa integral em
mais simples. Aqui
.
Passo 3
Calcular
a partir de
. Diferenciando em relação a
obtemos
Isso significa que podemos isolar
como
Expliquei: pegamos a derivada de
que é
, e o
some porque é constante.
Passo 4
Fazer a substituição na integral: como
então
, e como vimos
. Assim
Expliquei: trocamos toda a parte em
por
e
, e tiramos a constante
para fora da integral.
Passo 5
Integrar em
. A primitiva de
é
(porque, em geral,
para
). Então
Expliquei a fórmula usada e como combinei as constantes.
Passo 6
Voltar para a variável original
. Lembrando que
, obtemos a primitiva em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito para prova): derivando o resultado deve voltar ao integrando. Diferenciando
pela regra da cadeia. O fator multiplica para
, então o resultado da derivada é
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.