\int(\operatorname{sen} x)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int (\operatorname{sen} x)^{4}\,dx.
O conteúdo envolvido é o uso de identidades trigonométricas (redução de potência) para reescrever (\operatorname{sen} x)^4 em termos de cossenos de múltiplos de x e então integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência
\operatorname{sen}^{2}x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.
Logo,
(\operatorname{sen} x)^{4} = \bigl(\operatorname{sen}^{2}x\bigr)^{2} = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^{2}.

Passo 3

Expandindo e simplificando temos
(\operatorname{sen} x)^{4} = \frac{1}{4}\bigl(1 - 2\cos(2x) + \cos^{2}(2x)\bigr) = \frac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\Bigr).
Reagrupando,
(\operatorname{sen} x)^{4} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{\cos(4x)}{2}\Bigr) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x).

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int (\operatorname{sen} x)^{4}\,dx = \int\Bigl(\tfrac{3}{8} - \tfrac{1}{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{8}\cos(4x)\Bigr)\,dx.
Calculando cada parte:
\int \tfrac{3}{8}\,dx = \tfrac{3}{8}\,x, \qquad \int -\tfrac{1}{2}\cos(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cdot \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} = -\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x),
\int \tfrac{1}{8}\cos(4x)\,dx = \tfrac{1}{8}\cdot \frac{\operatorname{sen}(4x)}{4} = \frac{1}{32}\operatorname{sen}(4x).

Resposta

\int (\operatorname{sen} x)^{4}\,dx = \frac{3}{8}\,x \;-\;\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x)\;+\;\frac{1}{32}\operatorname{sen}(4x)\;+\;C.

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