Nos itens (a-f), classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
(1-x) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\sin x.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(1 - x)\,y^{\prime\prime} - 2\,y^{\prime} + y = \sin x
e pede para classificar se ela é linear ou não-linear e também indicar a ordem da equação. Vamos usar os conceitos de ordem de uma EDO e de linearidade.

Passo 2

A ordem de uma EDO é igual ao maior índice de derivada que aparece na equação. Aqui temos as derivadas y^{\prime} e y^{\prime\prime}, sendo que o maior índice é 2.
Portanto, esta é uma EDO de segunda ordem.

Passo 3

Uma EDO é linear se puder ser escrita na forma
a_2(x)\,y^{\prime\prime} + a_1(x)\,y^{\prime} + a_0(x)\,y = g(x)
onde os a_i(x) são funções apenas de x (ou constantes) e não há termos como y^2, y\,y', \sin(y) etc.
No nosso caso,
a_2(x)=1-x,\quad a_1(x)=-2,\quad a_0(x)=1,\quad g(x)=\sin x
e não há produtos ou potências não lineares em y ou em suas derivadas. Logo a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial é linear e de segunda ordem.

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