Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função integranda é e devemos encontrar uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada seja
), incluindo a constante de integração
.
Informações dadas: a função integranda é
Passo 2
Idéia do método (sem resolver ainda): a função na exponencial tem uma constante multiplicando
(é
). Uma forma padrão e prática é usar substituição para simplificar a expressão interna da exponencial. Vou definir uma nova variável que torne a integral do tipo
, que sabemos integrar facilmente.
Passo 3
Faço a substituição
. Agora calculo o diferencial de
:
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituo na integral original
. Usando
e
, a integral vira
Posso retirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Agora uso o fato básico sobre exponenciais: a derivada de
é
, então a primitiva de
é
. Portanto
Substituindo de volta:
Passo 6
Volto à variável original
usando
. Como a constante
já representa qualquer constante arbitrária, posso escrever o resultado final como
Passo 7
Verificação rápida: derivo a primitiva obtida para checar se volto à integranda.
que é justamente a integranda. Está correto.
Passo 8
Regra geral e exemplos rápidos para memorizar: para constante
,
Exemplos:
e
. Lembre-se: é a “inversa” da regra da cadeia na diferenciação.