\int e^{4 x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \int e^{4x}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas: a função integranda é \,e^{4x}\, e devemos encontrar uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada seja \,e^{4x}\,), incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Idéia do método (sem resolver ainda): a função na exponencial tem uma constante multiplicando x \,4x). Uma forma padrão e prática é usar substituição para simplificar a expressão interna da exponencial. Vou definir uma nova variável que torne a integral do tipo \int e^{u}\,\mathrm{d}u, que sabemos integrar facilmente.

Passo 3

Faço a substituição \,u=4x\,. Agora calculo o diferencial de u:
\mathrm{d}u = 4\,\mathrm{d}x.
Isolando \mathrm{d}x obtemos
\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{4}.

Passo 4

Substituo na integral original \int e^{4x}\,\mathrm{d}x. Usando \,u=4x e \mathrm{d}x=\dfrac{\mathrm{d}u}{4}, a integral vira
\int e^{4x}\,\mathrm{d}x = \int e^{u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{4}.
Posso retirar a constante \dfrac{1}{4} para fora da integral:
\int e^{4x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\int e^{u}\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Agora uso o fato básico sobre exponenciais: a derivada de e^{u} é e^{u}, então a primitiva de e^{u} é e^{u}. Portanto
\int e^{u}\,\mathrm{d}u = e^{u} + C.
Substituindo de volta:
\frac{1}{4}\int e^{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{4}\bigl(e^{u}+C\bigr).

Passo 6

Volto à variável original x usando u=4x. Como a constante C já representa qualquer constante arbitrária, posso escrever o resultado final como
\frac{1}{4}e^{u}+C = \frac{1}{4}e^{4x}+C.

Passo 7

Verificação rápida: derivo a primitiva obtida para checar se volto à integranda.
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(\frac{1}{4}e^{4x}+C\right) = \frac{1}{4}\cdot 4 e^{4x} = e^{4x},
que é justamente a integranda. Está correto.

Passo 8

Regra geral e exemplos rápidos para memorizar: para constante k\neq 0,
\int e^{kx}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{k}e^{kx}+C.
Exemplos: \int e^{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}+C e \int e^{2x}\,\mathrm{d}x = \tfrac{1}{2}e^{2x}+C. Lembre-se: é a “inversa” da regra da cadeia na diferenciação.

Resposta

\dfrac{1}{4}e^{4x}+C

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