Calcule a expressão e escreva sua resposta na forma a+i b.
Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
(2 \sqrt{3}+2 i)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência
(2\sqrt{3}+2i)^{5}
e escrever o resultado na forma \,a+i b. As informações dadas são: o número complexo \,z=2\sqrt{3}+2i e a potência de expoente 5.

Passo 2

Identifico as partes real e imaginária de \,z. Escrevo
z = x + i y
onde \,x é a parte real e \,y é a parte imaginária. No nosso caso:
x = 2\sqrt{3},\qquad y = 2.

Passo 3

Vou transformar \,z para a forma trigonométrica (ou polar). Primeiro calculo o módulo \,r=|z|, que é dado por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isso vem da definição do módulo: se \,z=x+iy então \,|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Substituindo:
r=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=\sqrt{4\cdot 3 + 4}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4.

Passo 4

Agora calculo o argumento \,\theta=\arg(z). Para um número no primeiro quadrante (quando x>0 e y>0) temos
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
Aqui
\theta=\arctan\!\left(\frac{2}{2\sqrt{3}}\right)=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Lembrando valores notáveis, \arctan(1/\sqrt{3})=\pi/6. Como x>0 e y>0, \theta=\pi/6 está correto (primeiro quadrante).

Passo 5

Escrevo z na forma trigonométrica
z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).
Substituindo os valores que encontrei:
z = 4\big(\cos(\pi/6) + i\sin(\pi/6)\big).

Passo 6

Aplico o Teorema de De Moivre, que diz: para todo número complexo em forma trigonométrica \,r(\cos\theta+i\sin\theta) e inteiro n,
\big(r(\cos\theta+i\sin\theta)\big)^{n}=r^{n}\big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big).
Aqui r é o módulo e \theta o argumento; isso facilita potências porque só elevamos o módulo e multiplicamos o ângulo por n.

Passo 7

Uso De Moivre para calcular \,z^{5}. Pelo teorema:
z^{5}=4^{5}\big(\cos(5\theta)+i\sin(5\theta)\big).
Como \theta=\pi/6, temos 5\theta=5\pi/6. Além disso 4^{5}=1024. Então
z^{5}=1024\big(\cos(5\pi/6)+i\sin(5\pi/6)\big).

Passo 8

Avalio \cos(5\pi/6) e \sin(5\pi/6). Usando relações de ângulos notáveis:
\cos(5\pi/6)=-\cos(\pi/6)=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin(5\pi/6)=\sin(\pi/6)=\frac{1}{2}.
Substituindo em z^{5} e distribuindo 1024:
\text{parte real: }1024\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1024\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-512\sqrt{3},
\text{parte imaginária: }1024\cdot\frac{1}{2}=512.á

Resposta

-512\sqrt{3}+512i

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