Calcule a expressão e escreva sua resposta na forma
.
Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência
e escrever o resultado na forma
. As informações dadas são: o número complexo
e a potência de expoente
.
Passo 2
Identifico as partes real e imaginária de
. Escrevo
onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No nosso caso:
Passo 3
Vou transformar
para a forma trigonométrica (ou polar). Primeiro calculo o módulo
, que é dado por
Isso vem da definição do módulo: se
então
. Substituindo:
Passo 4
Agora calculo o argumento
. Para um número no primeiro quadrante (quando
e
) temos
Aqui
Lembrando valores notáveis,
. Como
e
,
está correto (primeiro quadrante).
Passo 5
Escrevo
na forma trigonométrica
Substituindo os valores que encontrei:
Passo 6
Aplico o Teorema de De Moivre, que diz: para todo número complexo em forma trigonométrica
e inteiro
,
Aqui
é o módulo e
o argumento; isso facilita potências porque só elevamos o módulo e multiplicamos o ângulo por
.
Passo 7
Uso De Moivre para calcular
. Pelo teorema:
Como
, temos
. Além disso
. Então
Passo 8
Avalio
e
. Usando relações de ângulos notáveis:
Substituindo em
e distribuindo
: