Terceira Questão ( 3,0 \mathrm{pts} ): Considere a superfície com parametrização dada por
\vec{r}(u, v)=\langle u \cos (2 v), u \operatorname{sen}(2 v), v\rangle, \quad 0 \leq u \leq 3,0 \leq v \leq \frac{\pi}{4}
(a) (1,5 ponto ) Escreva a integral dupla correspondente à área da superfície. Não é necessário cacular a área.
(b) (1,5 ponto ) Calcule a integral de superfície da função x.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da superfície e o domínio dos parâmetros, e pede duas coisas:
\vec{r}(u,v)=\langle u\cos(2v),\,u\sin(2v),\,v\rangle,\qquad 0\le u\le 3,\;0\le v\le \tfrac{\pi}{4}.
Perguntas:
(a) Escrever a integral dupla que corresponde à área da superfície (não é preciso calcular a área).
(b) Calcular a integral de superfície da função x sobre essa superfície, isto é \iint_{S} x\,dS.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a parametrização \vec r(u,v) e o retângulo no plano (u,v) dado por 0\le u\le 3, 0\le v\le \tfrac{\pi}{4}. Não há figuras adicionais.

Passo 2

Conceito necessário (explicado passo a passo): como escrever a integral da área de uma superfície parametrizada.
Se uma superfície S é dada por \vec r(u,v) com (u,v) variando em um domínio D do plano, a área de S é
\text{Área}(S)=\iint_{D}\|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\|\,dudv.Á
Aqui \vec r_{u} e \vec r_{v} são as derivadas parciais de \vec r em relação a u e v. A quantidade \|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\| é o módulo do produto vetorial e representa a “fator de escala” que converte área em (u,v) para área sobre a superfície.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais \vec r_{u} e \vec r_{v}. Diferenciamos componente a componente.
Para \vec r(u,v)=\langle u\cos(2v),\,u\sin(2v),\,v\rangle temos
\vec r_{u}=\left\langle \frac{\partial}{\partial u}\bigl(u\cos(2v)\bigr),\\ \frac{\partial}{\partial u}\bigl(u\sin(2v)\bigr),\\ \frac{\partial}{\partial u}(v)\right\rangle =\langle \cos(2v),\;\sin(2v),\;0\rangle.
E
\vec r_{v}=\left\langle \frac{\partial}{\partial v}\bigl(u\cos(2v)\bigr),\\ \frac{\partial}{\partial v}\bigl(u\sin(2v)\bigr),\\ \frac{\partial}{\partial v}(v)\right\rangle =\langle -2u\sin(2v),\;2u\cos(2v),\;1\rangle.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec r_{u}\times\vec r_{v}. Usamos a regra do determinante:
\vec r_{u}\times\vec r_{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos(2v) & \sin(2v) & 0 \\\\ -2u\sin(2v) & 2u\cos(2v) & 1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • Componente em \mathbf{i}: \sin(2v)\cdot 1 - 0\cdot(2u\cos(2v)) = \sin(2v).
  • Componente em \mathbf{j}: -\bigl(\cos(2v)\cdot 1 - 0\cdot(-2u\sin(2v))\bigr) = -\cos(2v).
  • Componente em \mathbf{k}: \cos(2v)\cdot(2u\cos(2v)) - \sin(2v)\cdot(-2u\sin(2v)) = 2u\bigl(\cos^{2}(2v)+\sin^{2}(2v)\bigr)=2u.
Portanto
\vec r_{u}\times\vec r_{v}=\langle \sin(2v),\; -\cos(2v),\; 2u\rangle.

Passo 5

Calcular o módulo \|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\|. O módulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\| =\sqrt{\sin^{2}(2v)+(-\cos(2v))^{2}+(2u)^{2}} =\sqrt{\sin^{2}(2v)+\cos^{2}(2v)+4u^{2}}.
Usando \sin^{2}(2v)+\cos^{2}(2v)=1 obtemos
\|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\|=\sqrt{1+4u^{2}}.
Isso é uma expressão simples que depende só de u, o que facilita integrações.

Passo 6

(a) Montar a integral dupla da área usando o resultado acima e o domínio D=\{(u,v):0\le u\le 3,\\\ 0\le v\le \tfrac{\pi}{4}\}.
Então a integral que representa a área é
\text{Área}(S)=\int_{v=0}^{\pi/4}\int_{u=0}^{3}\sqrt{1+4u^{2}}\;du\,dv.Á
Observação didática: poderíamos trocar a ordem de integração sem problema, pois o domínio é um retângulo; eu escrevi na ordem du\,dv porque o fator \sqrt{1+4u^{2}} depende só de u.

Passo 7

Conceito necessário para (b): integral de superfície de uma função escalar.
Se queremos \iint_{S} f(x,y,z)\,dS e S é parametrizada por \vec r(u,v), então
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS=\iint_{D} f\bigl(\vec r(u,v)\bigr)\,\|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\|\,dudv.
Ou seja, substituímos a função pela sua expressão em termos de u,v e multiplicamos pelo mesmo fator \|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\| usado na área.

Passo 8

Aplicar ao caso f(x,y,z)=x. Pela parametrização temos x(u,v)=u\cos(2v). Usando o módulo do produto vetorial encontrado no Passo 5, o integrando fica
x\,\|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\| = \bigl(u\cos(2v)\bigr)\sqrt{1+4u^{2}}.
Logo a integral pedida é
\iint_{S} x\,dS = \int_{v=0}^{\pi/4}\int_{u=0}^{3} u\cos(2v)\sqrt{1+4u^{2}}\;du\,dv.

Passo 9

Resolver a integral. Note que o integrando é produto de uma função de u por uma função de v, então a integral separa:
\iint_{S} x\,dS =\left(\int_{v=0}^{\pi/4}\cos(2v)\,dv\right)\left(\int_{u=0}^{3} u\sqrt{1+4u^{2}}\,du\right).
Calcule a integral em v:
\int_{0}^{\pi/4}\cos(2v)\,dv = \left.\tfrac{1}{2}\sin(2v)\right|_{0}^{\pi/4} = \tfrac{1}{2}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}.

Passo 10

Calcule a integral em u:
Use a substituição t=1+4u^{2}. Então dt=8u\,du, logo u\,du=dt/8. Quando u=0 temos t=1; quando u=3 temos t=1+4\cdot 9=37. Assim
\int_{0}^{3} u\sqrt{1+4u^{2}}\,du = \int_{t=1}^{37} \sqrt{t}\,\frac{dt}{8} = \frac{1}{8}\int_{1}^{37} t^{1/2}\,dt.
Integrando t^{1/2} obtemos \tfrac{2}{3}t^{3/2}, então
\int_{0}^{3} u\sqrt{1+4u^{2}}\,du = \frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}\Bigl[t^{3/2}\Bigr]_{1}^{37} = \frac{1}{12}\bigl(37^{3/2}-1\bigr).

Passo 11

Multiplicando os dois fatores obtidos nos Passos 9 e 10:
\iint_{S} x\,dS = \left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{12}\bigl(37^{3/2}-1\bigr)\right) = \frac{1}{24}\bigl(37^{3/2}-1\bigr).
Podemos também escrever 37^{3/2}=37\sqrt{37} se preferir.

Resposta

\text{(a)}\quad \text{Área}(S)=\int_{v=0}^{\pi/4}\int_{u=0}^{3}\sqrt{1+4u^{2}}\;du\,dv.Á
\text{(b)}\quad \iint_{S} x\,dS=\frac{1}{24}\bigl(37^{3/2}-1\bigr).

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