Terceira Questão ( 3,0 \mathrm{pts} ): Considere a superfície com parametrização dada por
\vec{r}(u, v)=\langle u \cos (2 v), u \operatorname{sen}(2 v), v\rangle, \quad 0 \leq u \leq 3,0 \leq v \leq \frac{\pi}{4}
(a) (1,5 ponto ) Escreva a integral dupla correspondente à área da superfície. Não é necessário cacular a área.
(b) (1,5 ponto ) Calcule a integral de superfície da função x.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da superfície e o domínio dos parâmetros, e pede duas coisas:
Perguntas:
(a) Escrever a integral dupla que corresponde à área da superfície (não é preciso calcular a área).
(b) Calcular a integral de superfície da função x sobre essa superfície, isto é \iint_{S} x\,dS.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a parametrização \vec r(u,v) e o retângulo no plano (u,v) dado por 0\le u\le 3, 0\le v\le \tfrac{\pi}{4}. Não há figuras adicionais.
Passo 2
Conceito necessário (explicado passo a passo): como escrever a integral da área de uma superfície parametrizada.
Se uma superfície S é dada por \vec r(u,v) com (u,v) variando em um domínio D do plano, a área de S é
Aqui \vec r_{u} e \vec r_{v} são as derivadas parciais de \vec r em relação a u e v. A quantidade \|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\| é o módulo do produto vetorial e representa a “fator de escala” que converte área em (u,v) para área sobre a superfície.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais \vec r_{u} e \vec r_{v}. Diferenciamos componente a componente.
Para \vec r(u,v)=\langle u\cos(2v),\,u\sin(2v),\,v\rangle temos
Observação didática: poderíamos trocar a ordem de integração sem problema, pois o domínio é um retângulo; eu escrevi na ordem du\,dv porque o fator \sqrt{1+4u^{2}} depende só de u.
Passo 7
Conceito necessário para (b): integral de superfície de uma função escalar.
Se queremos \iint_{S} f(x,y,z)\,dS e S é parametrizada por \vec r(u,v), então
Calcule a integral em u:
Use a substituição t=1+4u^{2}. Então dt=8u\,du, logo u\,du=dt/8. Quando u=0 temos t=1; quando u=3 temos t=1+4\cdot 9=37. Assim