\int_{1}^{9} \frac{3 x-2}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{1}^{9} \frac{3x-2}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • Limites de integração: inferior 1 e superior 9.
  • Integrando: \dfrac{3x-2}{\sqrt{x}}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do integrando transformando potências de x. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2} e que, para potências, vale x^{a}/x^{b}=x^{a-b}. Aplicando isso termo a termo:
\frac{3x-2}{\sqrt{x}} = 3\frac{x}{x^{1/2}} - 2\frac{1}{x^{1/2}} = 3x^{1/2} - 2x^{-1/2}.
Ou seja, a integral é equivalente a
\int_{1}^{9}\bigl(3x^{1/2}-2x^{-1/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora a regra que vamos usar: a regra da potência para integrais. Para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Além disso, constantes podem ser tiradas para fora da integral:
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx.
Essas duas ideias permitem integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra da potência.
Para o primeiro termo 3x^{1/2}:
\int 3x^{1/2}\,dx = 3\int x^{1/2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = 3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}.
Calcule o fator: 3\div(3/2)=3\cdot\frac{2}{3}=2. Logo
\int 3x^{1/2}\,dx = 2x^{3/2}.
Para o segundo termo -2x^{-1/2}:
\int -2x^{-1/2}\,dx = -2\int x^{-1/2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = -2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}.
Calcule o fator: -2\div(1/2)=-2\cdot 2=-4. Logo
\int -2x^{-1/2}\,dx = -4x^{1/2}.

Passo 5

Somando as primitivas dos dois termos, uma primitiva da função é
F(x)=2x^{3/2}-4x^{1/2}.
(Para a integral definida a constante de integração não é necessária.)

Passo 6

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo: avaliar F em 9 e em 1 e subtrair F(9)-F(1).
Calcule F(9). Como 9^{1/2}=3 e 9^{3/2}=9\cdot9^{1/2}=9\cdot3=27,
F(9)=2\cdot 27 - 4\cdot 3 = 54 - 12 = 42.
Calcule F(1). Como 1^{1/2}=1 e 1^{3/2}=1,
F(1)=2\cdot 1 - 4\cdot 1 = 2 - 4 = -2.

Passo 7

Portanto a integral definida vale
\int_{1}^{9} \frac{3x-2}{\sqrt{x}}\,dx = F(9)-F(1) = 42 - (-2) = 44.

Resposta

44

Exercícios relacionados