\int_{1}^{9} \frac{3 x-2}{\sqrt{x}} d x
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- Limites de integração: inferior
e superior . - Integrando:
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do integrando transformando potências de
. Lembre que
e que, para potências, vale
. Aplicando isso termo a termo:
Ou seja, a integral é equivalente a
Passo 3
Agora a regra que vamos usar: a regra da potência para integrais. Para qualquer
,
onde
é a constante de integração. Além disso, constantes podem ser tiradas para fora da integral:
Essas duas ideias permitem integrar cada termo separadamente.
Passo 4
Integramos termo a termo usando a regra da potência.
Para o primeiro termo
:
Calcule o fator:
. Logo
Para o segundo termo
:
Calcule o fator:
. Logo
Passo 5
Somando as primitivas dos dois termos, uma primitiva da função é
(Para a integral definida a constante de integração não é necessária.)
Passo 6
Aplicamos o teorema fundamental do cálculo: avaliar
em
e em
e subtrair
.
Calcule
. Como
e
,
Calcule
. Como
e
,
Passo 7
Portanto a integral definida vale