\int_{0}^{\pi}(4 \operatorname{sen} \theta-3 \cos \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{\pi}\bigl(4\sin\theta-3\cos\theta\bigr)\,d\theta.
Informações dadas:
  • Limites de integração: \theta=0 e \theta=\pi.
  • Função integranda: 4\sin\theta-3\cos\theta, que é a soma linear de duas funções trigonométricas simples.

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Linearidade da integral: para constantes a,b e funções f,g,
\int (a f + b g)\,d\theta = a\int f\,d\theta + b\int g\,d\theta.
Isto permite separar a integral em partes mais fáceis.
  • Regra do fator constante: uma constante pode sair da integral (já incluída na linearidade).
  • Primitivas (antiderivadas) básicas:
    • A primitiva de \sin\theta é -\cos\theta, porque \dfrac{d}{d\theta}(-\cos\theta)=\sin\theta.
    • A primitiva de \cos\theta é \sin\theta, porque \dfrac{d}{d\theta}(\sin\theta)=\cos\theta.
  • Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática): se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(\theta)\,d\theta = F(b)-F(a).
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Separei a integral usando linearidade:
\int_{0}^{\pi}\bigl(4\sin\theta-3\cos\theta\bigr)\,d\theta = 4\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta - 3\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta.
Agora escolho primitivas:
  • Uma primitiva de \sin\theta é -\cos\theta.
  • Uma primitiva de \cos\theta é \sin\theta.
    Portanto uma primitiva F(\theta) para a integranda completa é
F(\theta) = 4\bigl(-\cos\theta\bigr) - 3\bigl(\sin\theta\bigr) = -4\cos\theta - 3\sin\theta.

Passo 4

Avalio a integral definida usando F(\theta):
\int_{0}^{\pi}\bigl(4\sin\theta-3\cos\theta\bigr)\,d\theta = F(\pi)-F(0).
Calculo F(\pi) e F(0). Lembre os valores trigonométricos básicos:
\cos\pi = -1,\qquad \sin\pi = 0,\qquad \cos 0 = 1,\qquad \sin 0 = 0.
Então
F(\pi) = -4\cos\pi - 3\sin\pi = -4(-1) - 3\cdot 0 = 4,
F(0) = -4\cos 0 - 3\sin 0 = -4(1) - 3\cdot 0 = -4.
Portanto
F(\pi)-F(0) = 4 - (-4) = 8.

Passo 5

Comentário rápido pra fixar (jeito alternativo curto):
4\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 4\cdot 2 = 8, \qquad -3\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta = -3\bigl(\sin\pi-\sin 0\bigr) = -3(0-0)=0,
somando dá 8. Dá no mesmo resultado — só cheguei lá por dois caminhos para você ver que bate.

Resposta

8

Exercícios relacionados