\int_{0}^{\pi}(4 \operatorname{sen} \theta-3 \cos \theta) d \theta
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- Limites de integração:
e . - Função integranda:
, que é a soma linear de duas funções trigonométricas simples.
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Linearidade da integral: para constantes
e funções ,
Isto permite separar a integral em partes mais fáceis.
- Regra do fator constante: uma constante pode sair da integral (já incluída na linearidade).
- Primitivas (antiderivadas) básicas:
- A primitiva de
é , porque . - A primitiva de
é , porque .
- A primitiva de
- Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática): se
é uma primitiva de , então
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Separei a integral usando linearidade:
Agora escolho primitivas:
- Uma primitiva de
é . - Uma primitiva de
é .
Portanto uma primitivapara a integranda completa é
Passo 4
Avalio a integral definida usando
:
Calculo
e
. Lembre os valores trigonométricos básicos:
Então
Portanto
Passo 5
Comentário rápido pra fixar (jeito alternativo curto):
somando dá
. Dá no mesmo resultado — só cheguei lá por dois caminhos para você ver que bate.