\int_{0}^{9} \sqrt{2 t} d t
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Calcular a integral definida
. - Intervalo de integração: de
até . - A função integranda é
, que é a raiz quadrada de .
Passo 2
Entendendo a notação e simplificando a integranda:
- A raiz quadrada pode ser vista como potência com expoente
. Ou seja, . - Usando propriedades de potências,
. - Portanto a integral fica
Passo 3
Relembrando as regras básicas de integração que vamos usar:
- Regra do fator constante: se
é constante e é integrável, então
Aqui
.
- Regra da potência (antiderivada): para
,
Explicação: essa fórmula nos dá uma função cuja derivada é
. A constante
é a constante de integração para integrais indefinidas. No caso de integral definida, usaremos uma primitiva
e aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 4
Aplicando as regras ao nosso caso:
- Factoramos o
para fora da integral:
- Agora usamos a regra da potência com
. A antiderivada de é
- Assim uma primitiva para a integranda completa é
Passo 5
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
- Se
é uma primitiva de , então
- No nosso caso
. Portanto
Passo 6
Calcular os termos numéricos com cuidado (sem calculadora):
- Primeiro,
- E
. - Então
- Simplificando
, obtemos
Passo 7
Comentário rápido — outro método (opcional) por substituição, só para reforçar a ideia:
- Fazer
implica ou . Quando temos ; quando temos . - A integral vira
- A antiderivada de
é , então
- Como
(ou fazer simplificação passo a passo), obtém-se de novo . - Conclusão: métodos diferentes levam ao mesmo resultado — bom para checar.