\int_{0}^{9} \sqrt{2 t} d t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{9} \sqrt{2 t}\, dt.
  • Intervalo de integração: de t=0 até t=9.
  • A função integranda é \sqrt{2t}, que é a raiz quadrada de 2t.

Passo 2

Entendendo a notação e simplificando a integranda:
  • A raiz quadrada pode ser vista como potência com expoente \tfrac{1}{2}. Ou seja, \sqrt{2t}=(2t)^{1/2}.
  • Usando propriedades de potências, (2t)^{1/2}=2^{1/2}\,t^{1/2}=\sqrt{2}\,t^{1/2}.
  • Portanto a integral fica
\int_{0}^{9}\sqrt{2t}\,dt=\int_{0}^{9}\sqrt{2}\,t^{1/2}\,dt.

Passo 3

Relembrando as regras básicas de integração que vamos usar:
  • Regra do fator constante: se a é constante e f é integrável, então
\int a\,f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt.
Aqui a=\sqrt{2}.
  • Regra da potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação: essa fórmula nos dá uma função cuja derivada é t^n. A constante C é a constante de integração para integrais indefinidas. No caso de integral definida, usaremos uma primitiva F e aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 4

Aplicando as regras ao nosso caso:
  • Factoramos o \sqrt{2} para fora da integral:
\int_{0}^{9}\sqrt{2}\,t^{1/2}\,dt = \sqrt{2}\int_{0}^{9} t^{1/2}\,dt.
  • Agora usamos a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}. A antiderivada de t^{1/2} é
\int t^{1/2}\,dt = \frac{t^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} + C = \frac{t^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}t^{3/2}+C.
  • Assim uma primitiva para a integranda completa é
F(t)=\sqrt{2}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}t^{3/2}.

Passo 5

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
  • Se F é uma primitiva de f, então
\int_{0}^{9} f(t)\,dt = F(9)-F(0).
  • No nosso caso F(t)=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}t^{3/2}. Portanto
\int_{0}^{9}\sqrt{2t}\,dt = \left.\frac{2\sqrt{2}}{3}t^{3/2}\right|_{0}^{9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\bigl(9^{3/2}-0^{3/2}\bigr).

Passo 6

Calcular os termos numéricos com cuidado (sem calculadora):
  • Primeiro, 9^{3/2} = (\sqrt{9})^{3} = 3^{3} = 27.
  • E 0^{3/2}=0.
  • Então
\frac{2\sqrt{2}}{3}\bigl(9^{3/2}-0\bigr)=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 27.
  • Simplificando \dfrac{27}{3}=9, obtemos
\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 27 = 2\sqrt{2}\cdot 9 = 18\sqrt{2}.

Passo 7

Comentário rápido — outro método (opcional) por substituição, só para reforçar a ideia:
  • Fazer u=2t implica du=2\,dt ou dt=\tfrac{1}{2}du. Quando t=0 temos u=0; quando t=9 temos u=18.
  • A integral vira
\int_{0}^{9}\sqrt{2t}\,dt = \int_{0}^{18}\sqrt{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{18} u^{1/2}\,du.
  • A antiderivada de u^{1/2} é \tfrac{2}{3}u^{3/2}, então
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{18}=\frac{1}{3}\bigl(18^{3/2}-0\bigr).
  • Como 18^{3/2}=(\sqrt{18})^{3}=(3\sqrt{2})^{3}=27\cdot2\sqrt{2}=54\sqrt{2} (ou fazer simplificação passo a passo), obtém-se de novo 18\sqrt{2}.
  • Conclusão: métodos diferentes levam ao mesmo resultado — bom para checar.

Resposta

\,18\sqrt{2}\,

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