\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{5}{x}} d x
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- Integrando:
. - Intervalo de integração: de
até .
A tarefa é calcular esse número real (valor da integral).
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão do integrando usando propriedades da raiz:
Como
, tem-se
. Portanto
Isso facilita porque integraremos uma potência de
.
Passo 3
Lembrete da regra que vamos usar (regra da potência para primitiva):
Explicação curta e didática:
- Aqui
é a variável de integração e é um número real. - A fórmula diz que para integrar uma potência de
basta somar no expoente e dividir pelo novo expoente. - Além disso, regra do fator constante: se
é constante então . Portanto podemos puxar para fora da integral.
Exemplo rápido (para fixar):
.
Passo 4
Aplicando as regras ao nosso integrando:
Usando a regra da potência com
:
Logo uma primitiva (função antiderivada) é
Passo 5
Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: o valor da integral definida é
, onde
é a primitiva encontrada. Assim
Passo 6
Calcular as raízes quadradas simples que aparecem:
e
. Substituindo obtemos a expressão final antes da simplificação final: