\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{5}{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{5}{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • Integrando: \sqrt{\dfrac{5}{x}}.
  • Intervalo de integração: de x=1 até x=4.
    A tarefa é calcular esse número real (valor da integral).

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão do integrando usando propriedades da raiz:
\sqrt{\frac{5}{x}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}.
Como \sqrt{x}=x^{1/2}, tem-se \dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}. Portanto
\sqrt{\frac{5}{x}}=\sqrt{5}\,x^{-1/2}.
Isso facilita porque integraremos uma potência de x.

Passo 3

Lembrete da regra que vamos usar (regra da potência para primitiva):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad\text{para }n\neq -1.
Explicação curta e didática:
  • Aqui x é a variável de integração e n é um número real.
  • A fórmula diz que para integrar uma potência de x basta somar 1 no expoente e dividir pelo novo expoente.
  • Além disso, regra do fator constante: se k é constante então \int k\cdot f(x)\,dx=k\cdot\int f(x)\,dx. Portanto podemos puxar \sqrt{5} para fora da integral.
Exemplo rápido (para fixar): \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 4

Aplicando as regras ao nosso integrando:
\int \sqrt{\frac{5}{x}}\,dx=\int \sqrt{5}\,x^{-1/2}\,dx =\sqrt{5}\int x^{-1/2}\,dx.
Usando a regra da potência com n=-\tfrac{1}{2}:
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=2x^{1/2}+C.
Logo uma primitiva (função antiderivada) é
F(x)=\sqrt{5}\cdot(2x^{1/2})=2\sqrt{5}\,x^{1/2}+C.

Passo 5

Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: o valor da integral definida é F(4)-F(1), onde F é a primitiva encontrada. Assim
\int_{1}^{4}\sqrt{\frac{5}{x}}\,dx = \biggl[2\sqrt{5}\,x^{1/2}\biggr]_{1}^{4} =2\sqrt{5}\,(\sqrt{4}-\sqrt{1}).

Passo 6

Calcular as raízes quadradas simples que aparecem:
\sqrt{4}=2 e \sqrt{1}=1. Substituindo obtemos a expressão final antes da simplificação final:
2\sqrt{5}\,(2-1).

Resposta

2\sqrt{5}

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