Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(x, 1 / 2)} e^{x y} \operatorname{sen} x y

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite (ou mostrar que ele não existe) da função quando o par (x,y) se aproxima do ponto (x,1/2):
\lim_{(x,y)\to(x,1/2)} e^{xy}\,\operatorname{sen}(xy).
Informações dadas:
  • A função dada é f(x,y)=e^{xy}\,\operatorname{sen}(xy).
  • O ponto de aproximação tem coordenadas (x,1/2) (repare que a primeira coordenada do ponto é o mesmo símbolo x que aparece na função).
  • A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor (possivelmente em função de x)?

Passo 2

Entendimento do que significa \lim_{(x,y)\to(x,1/2)}.
  • Esse escrito significa que a segunda coordenada y tende para 1/2 enquanto a primeira coordenada tende para o mesmo valor x que já aparece na expressão; portanto, o ponto de destino tem primeira coordenada igual a x (ou seja, estamos avaliando o limite em qualquer ponto cuja primeira coordenada seja x fixo e a segunda seja 1/2). Em termos práticos, para cada valor fixo de x consideramos sequências (x_n,y_n) com x_n\to x e y_n\to 1/2.
  • Assim, se o limite existir, ele será uma função do x (porque o ponto de avaliação depende de x).

Passo 3

Lembrando propriedades básicas de continuidade que vamos usar (aqui explicadas devagarinho):
  • A função produto g(u,v)=u\cdot v é contínua em todos os pares (u,v). Isto significa que se u_n\to u_0 e v_n\to v_0 então u_n v_n \to u_0 v_0.
  • A função projeção (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y são contínuas (elas só “pegam” uma coordenada).
  • A multiplicação de coordenadas (x,y)\mapsto xy é obtida combinando projeções e produto; portanto a função h(x,y)=xyé contínua em todo \mathbb{R}^2. Em palavras: se (x_n,y_n)\to(x_0,y_0) então x_ny_n\to x_0y_0.
  • As funções elementares t\mapsto e^{t} e t\mapsto \sin t são contínuas para todo t\in\mathbb{R}.
  • Composição de funções contínuas é contínua: se h é contínua e \varphi é contínua então \varphi\circ h é contínua.
  • Produto de funções contínuas é contínuo.

Passo 4

Aplicando essas propriedades ao problema:
  • Primeiro note que h(x,y)=xy é contínua. Logo, e^{xy} é a composição t\mapsto e^{t} com h, portanto (x,y)\mapsto e^{xy} é contínua. Mesma coisa para (x,y)\mapsto \sin(xy).
  • Sendo e^{xy} e \sin(xy) funções contínuas, o produto f(x,y)=e^{xy}\sin(xy)também é contínuo em todo ponto de \mathbb{R}^2.
  • Uma função contínua satisfaz que o limite quando o argumento tende a um ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Assim, para qualquer x fixo vale \lim_{(x',y)\to(x,1/2)} e^{x'y}\sin(x'y)=e^{x\cdot\frac{1}{2}}\sin\!\left(x\cdot\frac{1}{2}\right).(Aqui usei a propriedade: se (x',y)\to(x,1/2) então x'y\to x\cdot\frac{1}{2}, e então substitui-se na composição contínua.)

Passo 5

Fazer a substituição final e simplificar a expressão:
  • Calculando x\cdot\frac{1}{2}=\frac{x}{2}.
  • Portanto o limite é e^{\frac{x}{2}}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 6

Observações finais e um exemplo numérico para fixar a ideia:
  • O limite existe para todo x e depende de x; não é um único número absoluto, é uma função de x.
  • Exemplo: se x=2, o limite vale e^{1}\sin(1).

Resposta

e^{\frac{x}{2}}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)

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