Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite (ou mostrar que ele não existe) da função quando o par
se aproxima do ponto
:
Informações dadas:
- A função dada é
. - O ponto de aproximação tem coordenadas
(repare que a primeira coordenada do ponto é o mesmo símbolo que aparece na função). - A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor (possivelmente em função de
)?
Passo 2
Entendimento do que significa
.
- Esse escrito significa que a segunda coordenada
tende para enquanto a primeira coordenada tende para o mesmo valor que já aparece na expressão; portanto, o ponto de destino tem primeira coordenada igual a (ou seja, estamos avaliando o limite em qualquer ponto cuja primeira coordenada seja fixo e a segunda seja ). Em termos práticos, para cada valor fixo de consideramos sequências com e . - Assim, se o limite existir, ele será uma função do
(porque o ponto de avaliação depende de ).
Passo 3
Lembrando propriedades básicas de continuidade que vamos usar (aqui explicadas devagarinho):
- A função produto
é contínua em todos os pares . Isto significa que se e então . - A função projeção
e são contínuas (elas só “pegam” uma coordenada). - A multiplicação de coordenadas
é obtida combinando projeções e produto; portanto a função é contínua em todo . Em palavras: se então . - As funções elementares
e são contínuas para todo . - Composição de funções contínuas é contínua: se
é contínua e é contínua então é contínua. - Produto de funções contínuas é contínuo.
Passo 4
Aplicando essas propriedades ao problema:
- Primeiro note que
é contínua. Logo, é a composição com , portanto é contínua. Mesma coisa para . - Sendo
e funções contínuas, o produto também é contínuo em todo ponto de . - Uma função contínua satisfaz que o limite quando o argumento tende a um ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Assim, para qualquer
fixo vale (Aqui usei a propriedade: se então , e então substitui-se na composição contínua.)
Passo 5
Fazer a substituição final e simplificar a expressão:
- Calculando
. - Portanto o limite é
Passo 6
Observações finais e um exemplo numérico para fixar a ideia:
- O limite existe para todo
e depende de ; não é um único número absoluto, é uma função de . - Exemplo: se
, o limite vale .