\int_{\gamma} \vec{H} \cdot d \vec{l}= ? \vec{H}=\left(\frac{4 x}{x^{2}+1}, z^{2}+\theta(y), 2 y z\right)
Onde:
\gamma é a interseção de x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com x+z=2,
orientada no sentido crescente de x.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
\int_{\gamma}\vec H\cdot d\vec l
sendo \vec H=(H_x,H_y,H_z)=\Bigl(\tfrac{4x}{x^2+1},\,z^2+\theta(y),\,2yz\Bigr) e \gamma a curva fechada dada pela interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano x+z=2.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial, e vamos usar o critério de campo conservativo: se \nabla\times\vec H=\vec 0 num domínio adequado, então \vec H tem potencial e a integral sobre qualquer laço fechado é zero.
Passo 2
Calculamos o rotacional \nabla\times\vec H.
\nabla\times\vec H =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ \dfrac{4x}{x^2+1}&z^2+\theta(y)&2yz \end{vmatrix}.
Como o rotacional é nulo num domínio que engloba a superfície da esfera (não há singularidades de \vec H em pontos de \gamma), \vec H é campo conservativo. Basta encontrar um potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec H.
Integrando em x:
Portanto existe \varphi contínuo e \vec H=\nabla\varphi.
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha em campos conservativos, a integral de \vec H\cdot d\vec l sobre qualquer curva fechada é zero. Em particular,