\int_{\gamma} \vec{H} \cdot d \vec{l}= ?
\vec{H}=\left(\frac{4 x}{x^{2}+1}, z^{2}+\theta(y), 2 y z\right)
Onde:
  • \gamma é a interseção de x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com x+z=2,
  • orientada no sentido crescente de x.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\int_{\gamma}\vec H\cdot d\vec l
sendo \vec H=(H_x,H_y,H_z)=\Bigl(\tfrac{4x}{x^2+1},\,z^2+\theta(y),\,2yz\Bigr) e \gamma a curva fechada dada pela interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano x+z=2.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial, e vamos usar o critério de campo conservativo: se \nabla\times\vec H=\vec 0 num domínio adequado, então \vec H tem potencial e a integral sobre qualquer laço fechado é zero.

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla\times\vec H.
\nabla\times\vec H =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ \dfrac{4x}{x^2+1}&z^2+\theta(y)&2yz \end{vmatrix}.
Componentes: \displaystyle(\nabla\times\vec H)_x =\frac{\partial}{\partial y}(2yz)-\frac{\partial}{\partial z}(z^2+\theta(y)) =2z-2z=0, \displaystyle(\nabla\times\vec H)_y =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\tfrac{4x}{x^2+1}\Bigr)-\frac{\partial}{\partial x}(2yz) =0-0=0, \displaystyle(\nabla\times\vec H)_z =\frac{\partial}{\partial x}(z^2+\theta(y))-\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{4x}{x^2+1}\Bigr) =0-0=0.
Logo \nabla\times\vec H=\vec 0.

Passo 3

Como o rotacional é nulo num domínio que engloba a superfície da esfera (não há singularidades de \vec H em pontos de \gamma), \vec H é campo conservativo. Basta encontrar um potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec H.
Integrando em x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x} =\frac{4x}{x^2+1} \;\Longrightarrow\; \varphi=2\ln\bigl(x^2+1\bigr)+f(y,z).
Depois em y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{\partial f}{\partial y} =z^2+\theta(y) \;\Longrightarrow\; f(y,z)=yz^2+\int\theta(y)\,dy+g(z).
Finalmente em z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =2yz+g'(z) \overset!=2yz \;\Longrightarrow\;g'(z)=0.
Portanto existe \varphi contínuo e \vec H=\nabla\varphi.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha em campos conservativos, a integral de \vec H\cdot d\vec l sobre qualquer curva fechada é zero. Em particular,
\int_{\gamma}\vec H\cdot d\vec l = 0.

Resposta

0

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