(REBECA ELLEN LIMA DA SILVA) Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
0<r<4,-\pi / 2<\theta<\pi / 6

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no plano cartesiano a região definida em coordenadas polares pela condição 0<r<4 e -\tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{\pi}{6}. O conteúdo envolve interpretação geométrica de coordenadas polares e desenho de setores circulares.

Passo 2

Em coordenadas polares, cada ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x-positivo. A desigualdade 0<r<4 significa que estamos considerando todos os pontos estritamente dentro do círculo de raio 4, sem incluir nem a origem nem a circunferência de raio 4.
A condição -\tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{\pi}{6} corresponde aos raios que partem da origem com ângulo variando de -90^\circ (eixo y-negativo) até 30^\circ acima do eixo x-positivo. Como os sinais são estritos (“<”), as semirretas de fronteira não fazem parte da região.

Passo 3

Para esboçar:
Trace primeiro o círculo de raio 4 centrado na origem,
x^2 + y^2 = 16.
Em seguida, desenhe a semirreta em \theta = -\tfrac{\pi}{2} (reta vertical para baixo) e a semirreta em \theta = \tfrac{\pi}{6} (reta passando por \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac12\bigr) quando r=1), estendendo ambas até o círculo de raio 4.
A região procurada é o setor circular entre essas duas semirretas, limitado internamente pela origem e externamente pelo arco de raio 4, mas sem incluir as fronteiras (pois são estritas). Sombrie o interior deste setor para representar a região.

Resposta

O esboço é o setor circular aberto de raio 4 centrado na origem, compreendido entre os ângulos \theta=-\tfrac{\pi}{2} e \theta=\tfrac{\pi}{6}.

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