(REBECA ELLEN LIMA DA SILVA) Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
2<r \leqslant 5,3 \pi / 4<\theta<5 \pi / 4

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região cujas coordenadas polares (r,\theta) satisfazem
2 < r \le 5, \quad \frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{5\pi}{4}.
O conteúdo é representação de regiões em coordenadas polares, e vamos interpretar separadamente as restrições em r e em \theta.

Passo 2

A condição
2 < r \le 5
significa que a região está entre dois círculos concêntricos de raio 2 (não incluso) e de raio 5 (incluso). Em coordenadas cartesianas, esses círculos são dados por
x^2 + y^2 = 2^2 \quad\text{e}\quad x^2 + y^2 = 5^2.

Passo 3

A condição
\frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{5\pi}{4}
define um setor de amplitude
\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2}
correspondente aos raios que fazem ângulos de 135^\circ e 225^\circ com o eixo x-positivo. Esse setor fica nos quadrantes II e III.

Passo 4

Para esboçar a região no plano:
( 1) desenhe o círculo de raio 2 (linha tracejada) e o de raio 5 (linha contínua),
( 2) trace o raio que parte da origem em \theta = \tfrac{3\pi}{4} (linha em 135^\circ),
( 3) trace o raio em \theta = \tfrac{5\pi}{4} (linha em 225^\circ),
( 4) sombreie o setor entre esses dois raios, limitado externamente pelo círculo de raio 5 e internamente pelo círculo de raio 2, sem incluir a fronteira interna.

Resposta

A região é um setor anular nos quadrantes II e III, entre os círculos
x^2 + y^2 = 4 \quad\text{e}\quad x^2 + y^2 = 25,
e limitada pelos raios \theta = \tfrac{3\pi}{4} e \theta = \tfrac{5\pi}{4}.

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