\int_{e^{2}}^{+\infty} \frac{d x}{x \ln ^{3} x}
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{e^{2}}^{+\infty} \frac{dx}{x\ln^{3}x},
ou seja, determinar se essa integral é convergente e, caso seja, encontrar o seu valor. As informações dadas são: o integrando é \dfrac{1}{x\ln^{3}x} e o intervalo de integração é de x=e^{2} até x\to+\infty. A impropriedade vem do limite superior infinito.

Passo 2

Explicando o que significa integrar até +\infty: a integral imprópria é definida como o limite
\int_{e^{2}}^{+\infty}\frac{dx}{x\ln^{3}x}=\lim_{B\to\infty}\int_{e^{2}}^{B}\frac{dx}{x\ln^{3}x}.
Portanto, para calcular a integral devemos primeiro encontrar a primitiva do integrando (ou transformá-la para uma forma conhecida), avaliar a integral definida entre e^{2} e B e, por fim, tomar o limite quando B\to\infty.

Passo 3

Observação útil (motivação da substituição): o integrando contém \ln x e também um fator 1/x. Uma substituição natural é
u=\ln x,
porque então du=\dfrac{dx}{x}. Isso simplifica muito a integral porque o pedaço dx/x se transforma diretamente em du.

Passo 4

Aplicando a substituição u=\ln x. Quando x=e^{2} temos u=\ln(e^{2})=2. Quando x=B (limite superior temporário) temos u=\ln B. Substituindo dx/x=du e \ln x=u, a integral truncada torna-se
\int_{e^{2}}^{B}\frac{dx}{x\ln^{3}x}=\int_{2}^{\ln B}\frac{du}{u^{3}}.
Portanto a integral imprópria é
\lim_{B\to\infty}\int_{2}^{\ln B}\frac{du}{u^{3}}=\lim_{T\to\infty}\int_{2}^{T}\frac{du}{u^{3}},
onde trocamos \ln B por T para enfatizar que é o limite T\to\infty.

Passo 5

Agora calculamos a primitiva de u^{-3}. Usamos a regra potência para integrais: para n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=-3, então n+1=-2 e
\int u^{-3}\,du=\frac{u^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{2u^{2}}+C.
Portanto a integral definida de 2 a T é
\int_{2}^{T}\frac{du}{u^{3}}=\left[-\frac{1}{2u^{2}}\right]_{2}^{T}=-\frac{1}{2T^{2}}+\frac{1}{2\cdot 2^{2}}.

Passo 6

Tomamos o limite quando T\to\infty:
\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{2T^{2}}+\frac{1}{8}\right)=0+\frac{1}{8}=\frac{1}{8}.
Como o limite existe e é finito, a integral imprópria converge e seu valor é \dfrac{1}{8}.

Passo 7

Comentário final e intuição: a convergência vem do fato de que, após a substituição \,u=\ln x, a integral vira uma integral do tipo \int_{2}^{\infty}u^{-3}du, e potências u^{-p} com p>1 geram integrais convergentes no infinito (pense no teste da p-integral). Aqui p=3>1, então converge. Isso confirma o resultado calculado explicitamente.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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