Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
ou seja, determinar se essa integral é convergente e, caso seja, encontrar o seu valor. As informações dadas são: o integrando é
e o intervalo de integração é de
até
. A impropriedade vem do limite superior infinito.
Passo 2
Explicando o que significa integrar até
: a integral imprópria é definida como o limite
Portanto, para calcular a integral devemos primeiro encontrar a primitiva do integrando (ou transformá-la para uma forma conhecida), avaliar a integral definida entre
e
e, por fim, tomar o limite quando
.
Passo 3
Observação útil (motivação da substituição): o integrando contém
e também um fator
. Uma substituição natural é
porque então
. Isso simplifica muito a integral porque o pedaço
se transforma diretamente em
.
Passo 4
Aplicando a substituição
. Quando
temos
. Quando
(limite superior temporário) temos
. Substituindo
e
, a integral truncada torna-se
Portanto a integral imprópria é
onde trocamos
por
para enfatizar que é o limite
.
Passo 5
Agora calculamos a primitiva de
. Usamos a regra potência para integrais: para
,
No nosso caso
, então
e
Portanto a integral definida de
a
é
Passo 6
Tomamos o limite quando
:
Como o limite existe e é finito, a integral imprópria converge e seu valor é
.
Passo 7
Comentário final e intuição: a convergência vem do fato de que, após a substituição
, a integral vira uma integral do tipo
, e potências
com
geram integrais convergentes no infinito (pense no teste da p-integral). Aqui
, então converge. Isso confirma o resultado calculado explicitamente.