O integrando é e^{-s t}\cos t. Observação importante: por causa do fator e^{-s t} (decrescimento exponencial) a integral tem boas chances de convergir quando s>0.
Passo 2
Justificando a convergência (por que faz sentido calcular o limite): use um teste simples de comparação. Para todo t\ge0 temos
Pelo teste da comparação absoluta, \int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\cos t\,dt converge absolutamente e portanto converge. Logo podemos calcular o valor do limite de \int_{0}^{R} quando R\to+\infty.
Passo 3
Defina a primitiva limitada e aplique integração por partes: seja
A(R)=\int_{0}^{R} e^{-s t}\cos t\,dt.
Vou usar a fórmula de integração por partes: para funções u e v,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho u=e^{-s t} e dv=\cos t\,dt. Então du=-s e^{-s t}\,dt e v=\sin t. Aplicando a fórmula no intervalo [0,R] obtemos
Calcule B(R) também por integração por partes: escolha u=e^{-s t} e dv=\sin t\,dt. Assim du=-s e^{-s t}\,dt e v=-\cos t. Aplicando a fórmula no intervalo [0,R] dá