Suponha s>0 e calcule
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} \cdot \cos t d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor do integral impróprio
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\cos t\,dt
para s>0.
Informações dadas e condições relevantes:
  • A variável s é um parâmetro positivo: s>0.
  • A integral é imprópria porque o intervalo de integração é [0,+\infty). Isso significa que devemos interpretar a integral como um limite
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\cos t\,dt=\lim_{R\to+\infty}\int_{0}^{R} e^{-s t}\cos t\,dt.
  • O integrando é e^{-s t}\cos t. Observação importante: por causa do fator e^{-s t} (decrescimento exponencial) a integral tem boas chances de convergir quando s>0.

Passo 2

Justificando a convergência (por que faz sentido calcular o limite): use um teste simples de comparação. Para todo t\ge0 temos
\big|e^{-s t}\cos t\big|\le e^{-s t},
porque |\cos t|\le1. Como s>0,
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{+\infty}=\frac{1}{s}<+\infty.
Pelo teste da comparação absoluta, \int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\cos t\,dt converge absolutamente e portanto converge. Logo podemos calcular o valor do limite de \int_{0}^{R} quando R\to+\infty.

Passo 3

Defina a primitiva limitada e aplique integração por partes: seja
A(R)=\int_{0}^{R} e^{-s t}\cos t\,dt.
Vou usar a fórmula de integração por partes: para funções u e v,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho u=e^{-s t} e dv=\cos t\,dt. Então du=-s e^{-s t}\,dt e v=\sin t. Aplicando a fórmula no intervalo [0,R] obtemos
A(R)=\big[e^{-s t}\sin t\big]_{0}^{R}+s\int_{0}^{R} e^{-s t}\sin t\,dt.
Portanto
A(R)=e^{-sR}\sin R + s\,B(R),
onde defini
B(R)=\int_{0}^{R} e^{-s t}\sin t\,dt.

Passo 4

Calcule B(R) também por integração por partes: escolha u=e^{-s t} e dv=\sin t\,dt. Assim du=-s e^{-s t}\,dt e v=-\cos t. Aplicando a fórmula no intervalo [0,R]
B(R)=\big[-e^{-s t}\cos t\big]_{0}^{R}-s\int_{0}^{R} e^{-s t}\cos t\,dt.
Note que \int_{0}^{R} e^{-s t}\cos t\,dt=A(R). Portanto
B(R)=-e^{-sR}\cos R + 1 - s\,A(R),
pois -e^{-s\cdot 0}\cos 0 = -1 e ao subtrair fica +1.

Passo 5

Volte para a expressão de A(R) e substitua B(R): de
A(R)=e^{-sR}\sin R + s\,B(R)
obtemos
A(R)=e^{-sR}\sin R + s\big(-e^{-sR}\cos R + 1 - s\,A(R)\big).
Desenvolvendo,
A(R)=e^{-sR}\sin R - s e^{-sR}\cos R + s - s^{2}A(R).
Agora reúna os termos em A(R) ao lado esquerdo:
A(R)+s^{2}A(R)=s + e^{-sR}\big(\sin R - s\cos R\big).
Logo
A(R)\big(1+s^{2}\big)=s + e^{-sR}\big(\sin R - s\cos R\big).

Passo 6

Faça o limite quando R\to+\infty. Como s>0, o termo exponencial e^{-sR} tende a 0. Em particular
\lim_{R\to+\infty} e^{-sR}\big(\sin R - s\cos R\big)=0,
pois |\sin R - s\cos R|\le 1+ s e e^{-sR}(1+s)\to0. Assim tomando limite em ambos os lados da igualdade do passo anterior obtemos
\lim_{R\to+\infty} A(R)\big(1+s^{2}\big)=s.
Logo, lembrando que \lim_{R\to+\infty} A(R)=\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\cos t\,dt, segue que
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\cos t\,dt=\frac{s}{1+s^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{s}{1+s^{2}}

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