\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos \theta d \theta}{(\pi-2 \theta)^{1 / 3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos\theta\,d\theta}{(\pi-2\theta)^{1/3}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo de integração é \theta\in[-\pi/2,\pi/2].
  • O integrando é \dfrac{\cos\theta}{(\pi-2\theta)^{1/3}}.
  • Observação importante: em \theta=\pi/2 o denominador \pi-2\theta zera (pois \pi-2(\pi/2)=0), então trata‑se de uma integral imprópria com singularidade no limite superior. Precisamos verificar convergência e calcular o valor.
  • Não há outras singularidades no intervalo (em \theta=-\pi/2 o denominador vale 2\pi\neq0).
A pergunta é: calcular essa integral imprópria (encontrar o seu valor).

Passo 2

Primeira transformação: faça a substituição
u=\pi-2\theta.
Explico a ideia: essa substituição zera o denominador no ponto problemático e deixa o integrando em função de u de forma mais direta. Calculemos as peças:
d\theta=-\frac{du}{2},\qquad \theta=\frac{\pi-u}{2}.
Também vamos trocar os limites: quando \theta=-\pi/2 temos
u=\pi-2\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi+\pi=2\pi,
e quando \theta=\pi/2 temos
u=\pi-2\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Substituindo na integral original:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos\theta\,d\theta}{(\pi-2\theta)^{1/3}} = \int_{u=2\pi}^{0}\frac{\cos\bigl((\pi-u)/2\bigr)}{u^{1/3}}\left(-\frac{du}{2}\right).

Passo 3

Simplificamos a expressão obtida no Passo 2. Use a identidade trigonométrica
\cos\!\bigl((\pi-u)/2\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{u}{2}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr).
Então
\int_{u=2\pi}^{0}\frac{\sin\!\left(\tfrac{u}{2}\right)}{u^{1/3}}\left(-\frac{du}{2}\right) =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\!\left(\tfrac{u}{2}\right)}{u^{1/3}}\,du.
Agora faça a substituição v=\tfrac{u}{2} (vou usar essa mudança para limpar constantes):
u=2v,\qquad du=2\,dv,\qquad u^{1/3}=(2v)^{1/3}=2^{1/3}v^{1/3},
e os limites vão de v=0 a v=\pi. Assim
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\!\left(\tfrac{u}{2}\right)}{u^{1/3}}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin v}{(2v)^{1/3}}\cdot 2\,dv =2^{-1/3}\int_{0}^{\pi} v^{-1/3}\sin v\,dv.
Portanto a integral original reduz‑se à forma
I:=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos\theta\,d\theta}{(\pi-2\theta)^{1/3}} = 2^{-1/3}\int_{0}^{\pi} v^{-1/3}\sin v\,dv.

Passo 4

Verificação de convergência e comportamento na singularidade: perto de v=0 temos \sin v\sim v, logo v^{-1/3}\sin v\sim v^{2/3}, que é integrável em 0 (porque o expoente 2/3>-1). Em v=\pi a função é regular. Logo a integral impropria converge e a troca de variáveis foi legítima.
Agora vamos calcular
J:=\int_{0}^{\pi} v^{-1/3}\sin v\,dv,
já que I=2^{-1/3}J. Para calcular J vou usar expansão em série de \sin v e integrar termo a termo — essa é uma técnica prática e legítima aqui porque a série da \sin converge uniformemente em [0,\pi] e cada termo quando multiplicado por v^{-1/3} dá uma integral finita (pelo comportamento v^{2/3} próximo a 0), então a integração termo a termo é justificada por convergência uniforme dominada.

Passo 5

Expanda \sin v em série de Taylor em torno de 0:
\sin v=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k v^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Multiplicando por v^{-1/3} obtemos
v^{-1/3}\sin v=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k v^{2k+1-1/3}}{(2k+1)!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k v^{2k+\frac{2}{3}}}{(2k+1)!}.
Integrando termo a termo no intervalo [0,\pi]:
J=\int_{0}^{\pi} v^{-1/3}\sin v\,dv =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\int_{0}^{\pi} v^{2k+\frac{2}{3}}\,dv.
A integral elemental é
\int_{0}^{\pi} v^{2k+\frac{2}{3}}\,dv=\frac{\pi^{2k+\frac{5}{3}}}{2k+\tfrac{5}{3}}.
Portanto obtemos a série absolutamente convergente
J=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\pi^{2k+\frac{5}{3}}}{(2k+1)!\left(2k+\tfrac{5}{3}\right)}.

Passo 6

Agora vamos calcular numericamente a soma da série para obter um valor aproximado preciso. Vou calcular os primeiros termos e somá‑los até termos negligenciáveis.
Defina A_k=\dfrac{(-1)^k\pi^{2k+\frac{5}{3}}}{(2k+1)!\left(2k+\tfrac{5}{3}\right)}.
Calculemos alguns termos (usando \pi\approx 3{,}14159265):
  • k=0:
A_0=\frac{\pi^{5/3}}{1\cdot(5/3)} =\frac{\pi^{5/3}}{5/3} \approx\frac{6{,}737947}{1{,}6666667}\approx 4{,}042770.
  • k=1:
A_1=-\frac{\pi^{11/3}}{3!\cdot(11/3)} \approx -\frac{66{,}569}{6\cdot 3{,}6666667}\approx -3{,}02500.
Soma parcial: 4{,}042770-3{,}02500=1{,}017770.
  • k=2:
A_2=\frac{\pi^{17/3}}{5!\cdot(17/3)} \approx \frac{656{,}84}{120\cdot 5{,}6666667}\approx 0{,}96536.
Soma parcial: 1{,}017770+0{,}96536=1{,}98313.
  • k=3:
A_3\approx -0{,}16786.
Soma parcial: 1{,}98313-0{,}16786=1{,}81527.
  • k=4:
A_4\approx +0{,}01824.
Soma parcial: 1{,}81527+0{,}01824=1{,}83351.
  • k=5:
A_5\approx -0{,}001357.
Soma parcial: 1{,}83351-0{,}001357=1{,}83215.
Os termos já estão diminuindo rapidamente; a soma converge para cerca de
J\approx 1{,}83215\\ (\text{com precisão melhor que }10^{-4}).ã

Passo 7

Retornando à integral original:
I=2^{-1/3}J.
Calcule 2^{-1/3} (lembrando que 2^{1/3}\approx 1{,}25992105, então 2^{-1/3}\approx 0{,}793700526). Assim
I\approx 0{,}793700526\times 1{,}83215\approx 1{,}45395.
Portanto a integral converge e seu valor aproximado é 1{,}45395. Se você quiser uma precisão maior, basta somar mais termos da série do Passo 5.
Observação didática final: existe também uma representação fechada em termos da função gama incompleta (incomplete gamma), mas essa expressão é menos prática na prova a menos que a função especial seja esperada. A série que usamos é direta, convergente e fácil de controlar numericamente sem calculadora pesada (basta alguns termos e estimativas).

Resposta

1,45395

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