Passo 1
O enunciado pede o valor da integral
Informações relevantes fornecidas:
- O intervalo de integração é
. - O integrando é
. - Observação importante: em
o denominador zera (pois ), então trata‑se de uma integral imprópria com singularidade no limite superior. Precisamos verificar convergência e calcular o valor. - Não há outras singularidades no intervalo (em
o denominador vale ).
A pergunta é: calcular essa integral imprópria (encontrar o seu valor).
Passo 2
Primeira transformação: faça a substituição
Explico a ideia: essa substituição zera o denominador no ponto problemático e deixa o integrando em função de
de forma mais direta. Calculemos as peças:
Também vamos trocar os limites: quando
temos
e quando
temos
Substituindo na integral original:
Passo 3
Simplificamos a expressão obtida no Passo 2. Use a identidade trigonométrica
Então
Agora faça a substituição
(vou usar essa mudança para limpar constantes):
e os limites vão de
a
. Assim
Portanto a integral original reduz‑se à forma
Passo 4
Verificação de convergência e comportamento na singularidade: perto de
temos
, logo
, que é integrável em
(porque o expoente
). Em
a função é regular. Logo a integral impropria converge e a troca de variáveis foi legítima.
Agora vamos calcular
já que
. Para calcular
vou usar expansão em série de
e integrar termo a termo — essa é uma técnica prática e legítima aqui porque a série da
converge uniformemente em
e cada termo quando multiplicado por
dá uma integral finita (pelo comportamento
próximo a
), então a integração termo a termo é justificada por convergência uniforme dominada.
Passo 5
Expanda
em série de Taylor em torno de
:
Multiplicando por
obtemos
Integrando termo a termo no intervalo
:
A integral elemental é
Portanto obtemos a série absolutamente convergente
Passo 6
Agora vamos calcular numericamente a soma da série para obter um valor aproximado preciso. Vou calcular os primeiros termos e somá‑los até termos negligenciáveis.
Defina
.
Calculemos alguns termos (usando
):
-
:
-
:
Soma parcial:
.
-
:
Soma parcial:
.
-
:
Soma parcial:
.
-
:
Soma parcial:
.
-
:
Soma parcial:
.
Os termos já estão diminuindo rapidamente; a soma converge para cerca de
Passo 7
Retornando à integral original:
Calcule
(lembrando que
, então
). Assim
Portanto a integral converge e seu valor aproximado é
. Se você quiser uma precisão maior, basta somar mais termos da série do Passo 5.
Observação didática final: existe também uma representação fechada em termos da função gama incompleta (incomplete gamma), mas essa expressão é menos prática na prova a menos que a função especial seja esperada. A série que usamos é direta, convergente e fácil de controlar numericamente sem calculadora pesada (basta alguns termos e estimativas).