$\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} \cos (k t) d t, \quad k, s \in \mathbb{R}, \quad s>0.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
onde
e
. Informações e o que é pedido:
- Intervalo de integração:
. - Integrando:
. - Parâmetros:
garante decadência exponencial em . - Objetivo: encontrar o valor exato da integral em função de
e .
Passo 2
Estratégia escolhida (e por quê). Uma maneira simples e direta é usar a identidade trigonométrica complexa
ou seja, escrever o cosseno como parte real de uma exponencial complexa. Isso transforma a integral oscilante numa integral de uma exponencial complexa
, cuja primitiva é elementar. A razão para escolher isso é que já sabemos a fórmula básica para integrar exponenciais e a condição
garante convergência. Esta abordagem evita integrações por partes repetidas e é totalmente elementar.
Passo 3
Lembra da fórmula básica (e por que vale): para um número complexo
com parte real positiva,
,
Explicação curta e convincente: calcular como limite de integrais finitas,
Se
, então
quando
, logo o limite dá
. Aqui usamos apenas propriedades elementares de exponenciais e limites.
Passo 4
Escrevendo o integrando com exponencial complexa e trocando integral e parte real. Como
,
Justificativa intuitiva para trocar a parte real com a integral: a função
é absolutamente integrável em
porque
e
converge (já que
), então é seguro tomar a parte real após integrar.
Passo 5
Calcular a integral complexa usando a fórmula do Passo 3. Defina
. Como
, tem-se
, então vale
Passo 6
Agora tomamos a parte real do resultado complexo. Precisamos calcular
. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
obtemos uma forma real no denominador:
A parte real desse número complexo é simplesmente o numerador real sobre o denominador real, isto é
Passo 7
Conclusão: combinando os passos anteriores,
Observação rápida para intuição: se
a integral vira
e a fórmula dá
, consistente.