$\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} \cos (k t) d t, \quad k, s \in \mathbb{R}, \quad s>0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} \cos(k t)\,dt,
onde k,s\in\mathbb{R} e s>0. Informações e o que é pedido:
  • Intervalo de integração: [0,+\infty).
  • Integrando: e^{-s t}\cos(k t).
  • Parâmetros: s>0 garante decadência exponencial em t.
  • Objetivo: encontrar o valor exato da integral em função de s e k.

Passo 2

Estratégia escolhida (e por quê). Uma maneira simples e direta é usar a identidade trigonométrica complexa
\cos(k t)=\Re\bigl(e^{i k t}\bigr),
ou seja, escrever o cosseno como parte real de uma exponencial complexa. Isso transforma a integral oscilante numa integral de uma exponencial complexa e^{-(s-i k)t}, cuja primitiva é elementar. A razão para escolher isso é que já sabemos a fórmula básica para integrar exponenciais e a condição s>0 garante convergência. Esta abordagem evita integrações por partes repetidas e é totalmente elementar.

Passo 3

Lembra da fórmula básica (e por que vale): para um número complexo a com parte real positiva, \Re(a)>0,
\int_{0}^{+\infty} e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a}.
Explicação curta e convincente: calcular como limite de integrais finitas,
\int_{0}^{R} e^{-a t}\,dt=\left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{R}=\frac{1}{a}\bigl(1-e^{-a R}\bigr).
Se \Re(a)>0, então e^{-a R}\to0 quando R\to+\infty, logo o limite dá \dfrac{1}{a}. Aqui usamos apenas propriedades elementares de exponenciais e limites.

Passo 4

Escrevendo o integrando com exponencial complexa e trocando integral e parte real. Como \cos(k t)=\Re\bigl(e^{i k t}\bigr),
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt =\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\Re\bigl(e^{i k t}\bigr)\,dt =\Re\!\left(\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}e^{i k t}\,dt\right).
Justificativa intuitiva para trocar a parte real com a integral: a função t\mapsto e^{-s t}e^{i k t} é absolutamente integrável em [0,\infty) porque |e^{-s t}e^{i k t}|=e^{-s t} e \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt converge (já que s>0), então é seguro tomar a parte real após integrar.

Passo 5

Calcular a integral complexa usando a fórmula do Passo 3. Defina a=s-i k. Como s>0, tem-se \Re(a)=s>0, então vale
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}e^{i k t}\,dt=\int_{0}^{+\infty} e^{-(s-i k)t}\,dt=\frac{1}{s-i k}.

Passo 6

Agora tomamos a parte real do resultado complexo. Precisamos calcular \Re\!\left(\dfrac{1}{s-i k}\right). Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado s+i k obtemos uma forma real no denominador:
\frac{1}{s-i k}=\frac{s+i k}{(s-i k)(s+i k)}=\frac{s+i k}{s^{2}+k^{2}}.
A parte real desse número complexo é simplesmente o numerador real sobre o denominador real, isto é
\Re\!\left(\frac{1}{s-i k}\right)=\frac{s}{s^{2}+k^{2}}.

Passo 7

Conclusão: combinando os passos anteriores,
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt=\Re\!\left(\frac{1}{s-i k}\right)=\frac{s}{s^{2}+k^{2}}.
Observação rápida para intuição: se k=0 a integral vira \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\dfrac{1}{s} e a fórmula dá \dfrac{s}{s^{2}}=\dfrac{1}{s}, consistente.

Resposta

\dfrac{s}{s^{2}+k^{2}}

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