Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} x \cos (x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular por partes a integral definida
\int_{\pi/4}^{\pi/2} x\cos(x)\,\mathrm{d}x
Aqui o conteúdo é o método de integração por partes, que usamos quando temos um produto de funções em que uma parte fica mais simples ao derivar e a outra permanece integrável.

Passo 2

Escolhemos u = x e \mathrm{d}v = \cos(x)\,\mathrm{d}x.
Então \mathrm{d}u = \mathrm{d}x e v = \int \cos(x)\,\mathrm{d}x = \sin(x).
Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u
temos a primitiva
\int x\cos(x)\,\mathrm{d}x = x\sin(x) - \int \sin(x)\,\mathrm{d}x = x\sin(x) + \cos(x) + C.

Passo 3

Definimos a função auxiliar
F(x) = x\sin(x) + \cos(x),
de modo que
\int_{\pi/4}^{\pi/2} x\cos(x)\,\mathrm{d}x = F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Calculando cada valor:
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \tfrac{\pi}{2}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \tfrac{\pi}{2}\cdot1 + 0 = \tfrac{\pi}{2},
F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \tfrac{\pi}{4}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) + \cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \tfrac{\pi}{4}\,\tfrac{\sqrt2}{2} + \tfrac{\sqrt2}{2} = \tfrac{\sqrt2}{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{4} + 1\Bigr).

Passo 4

Subtraindo os limites, obtemos
\int_{\pi/4}^{\pi/2} x\cos(x)\,\mathrm{d}x = \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\sqrt2}{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{4} + 1\Bigr).
Podemos deixar em forma um pouco mais compacta:
\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi\sqrt2}{8} - \tfrac{\sqrt2}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\pi(4-\sqrt2)}{8} - \frac{\sqrt2}{2}.

Resposta

\int_{\pi/4}^{\pi/2} x\cos(x)\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \;-\; \frac{\pi\sqrt{2}}{8} \;-\; \frac{\sqrt{2}}{2}.

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