1. \int_{1}^{3}\left(5+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{1}^{3}\bigl(5 + x^{-2}\bigr)\,dx.
O conteúdo é cálculo de integrais: vamos usar a linearidade da integral e o Teorema Fundamental do Cálculo, encontrando uma primitiva do integrando.

Passo 2

Separamos a integral em duas mais simples usando linearidade:
\int_{1}^{3}\bigl(5 + x^{-2}\bigr)\,dx = \int_{1}^{3}5\,dx + \int_{1}^{3}x^{-2}\,dx.

Passo 3

Calculamos as primitivas de cada termo:
\int 5\,dx = 5x + C, \quad \int x^{-2}\,dx = -\,x^{-1} + C.
Logo, uma primitiva geral do integrando é
F(x) = 5x - \frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos de 1 a 3:
\left[F(x)\right]_{1}^{3} = \Bigl(5\cdot3 - \tfrac{1}{3}\Bigr) - \Bigl(5\cdot1 - \tfrac{1}{1}\Bigr) = \frac{45}{3} - \frac{1}{3} - (5 - 1) = \frac{44}{3} - 4 = \frac{44}{3} - \frac{12}{3} = \frac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

Exercícios relacionados