1. \int_{1}^{2}\left(x^{3}+x+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{1}^{2}\bigl(x^{3}+x+\tfrac1{x^{3}}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a integração de potências de x. Vamos usar a regra de potência
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Decompondo a integral em três partes, cada uma tratável pela regra de potência:
\int_{1}^{2}\bigl(x^{3}+x+x^{-3}\bigr)\,dx = \int_{1}^{2}x^{3}\,dx + \int_{1}^{2}x\,dx + \int_{1}^{2}x^{-3}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência em cada termo, obtemos uma antiderivada F(x):
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^{2}}.
Portanto,
F(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2x^{2}}.

Passo 4

Agora avaliamos F em 2 e em 1:
F(2) = \frac{2^{4}}{4} + \frac{2^{2}}{2} - \frac{1}{2\cdot2^{2}} = 4 + 2 - \frac{1}{8} = \frac{47}{8},
F(1) = \frac{1^{4}}{4} + \frac{1^{2}}{2} - \frac{1}{2\cdot1^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{2}\bigl(x^{3}+x+x^{-3}\bigr)\,dx = F(2)-F(1) = \frac{47}{8} - \frac{1}{4} = \frac{45}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{45}{8}

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