Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular a integral de uma função que envolve uma raiz quadrada no denominador. Especificamente, temos:
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, mais precisamente substituição trigonométrica, que é útil quando lidamos com expressões que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, a integral fica:
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Isso significa que:
Passo 3
Com a substituição, vamos reescrever a expressão
:
Então,
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando os coeficientes e os termos de cosseno:
Passo 5
A integral de
é uma das integrais básicas que conhecemos:
Então, temos:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar
:
Portanto, substituindo de volta:
Resposta
A integral é igual a: