integral 3(raiz16-x^2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular a integral de uma função que envolve uma raiz quadrada no denominador. Especificamente, temos:
integral 3(raiz16-x^2)^3 , dx
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, mais precisamente substituição trigonométrica, que é útil quando lidamos com expressões que envolvem raiza^2 - x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que (raiz16 - x^2)^3 é o mesmo que (16 - x^2)^3/2. Então, a integral fica:
integral 3(16 - x^2)^3/2 , dx
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
x = 4 sin theta
Isso significa que:
dx = 4 cos theta , dtheta

Passo 3

Com a substituição, vamos reescrever a expressão 16 - x^2:
16 - x^2 = 16 - 16 sin^2 theta = 16(1 - sin^2 theta) = 16 cos^2 theta
Então, (16 - x^2)^3/2 = (16 cos^2 theta)^3/2 = 16^3/2 cos^3 theta = 64 cos^3 theta

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral 3(16 - x^2)^3/2 , dx = integral 364 cos^3 theta cdot 4 cos theta , dtheta
Simplificando os coeficientes e os termos de cosseno:
3 cdot 464 integral cos thetacos^3 theta , dtheta = 1264 integral 1cos^2 theta , dtheta = 316 integral sec^2 theta , dtheta

Passo 5

A integral de sec^2 theta é uma das integrais básicas que conhecemos:
integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C
Então, temos:
316 tan theta + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = 4 sin theta, podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar tan theta:
tan theta = xraiz16 - x^2
Portanto, substituindo de volta:
316 cdot xraiz16 - x^2 + C

Resposta

A integral é igual a:
3x16, raiz16 - x^2 + C

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